Номер 6, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Могут ли углы, прилежащие к основанию трапеции, быть один острым, а другой тупым?

Да, углы, прилежащие к одному основанию трапеции, могут быть один острым, а другой тупым. Чтобы это доказать, рассмотрим свойства углов трапеции.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие нет (боковые стороны). Пусть дана трапеция ABCD, в которой основаниями являются стороны AD и BC, следовательно, AD || BC. Важное свойство трапеции заключается в том, что сумма углов, прилежащих к любой боковой стороне, равна $180°$. Это следует из того, что боковые стороны являются секущими при параллельных прямых, на которых лежат основания. Таким образом, для трапеции ABCD справедливы равенства: $∠A + ∠B = 180°$ и $∠C + ∠D = 180°$.

Теперь рассмотрим углы, прилежащие к одному основанию, например, к основанию AD. Это углы $∠A$ и $∠D$. Допустим, что один из них острый, а другой — тупой. Пусть $∠A$ — острый (то есть $0° < ∠A < 90°$), а $∠D$ — тупой (то есть $90° < ∠D < 180°$).

Проверим, не приводит ли это предположение к противоречию. Используя свойство углов при боковых сторонах, найдем, какими должны быть углы при другом основании, BC. Угол $∠B$ связан с углом $∠A$ соотношением $∠B = 180° - ∠A$. Поскольку $∠A$ — острый, то угол $∠B$ будет тупым (его величина будет больше $90°$). Аналогично, угол $∠C$ связан с углом $∠D$ соотношением $∠C = 180° - ∠D$. Поскольку $∠D$ — тупой, то угол $∠C$ будет острым (его величина будет меньше $90°$).

В результате мы получаем трапецию, у которой углы при основании AD — острый и тупой, а углы при основании BC — тупой и острый соответственно. Никакого противоречия с геометрическими аксиомами или свойствами трапеции здесь нет. Такая трапеция существует, и это наиболее общий вид трапеции (не являющейся ни равнобедренной, ни прямоугольной).

Наглядно это можно представить, построив такую трапецию. Если нарисовать длинное основание AD, а затем из точки A провести боковую сторону AB под острым углом, а из точки D — боковую сторону DC под тупым углом (так, чтобы стороны AB и DC оказались по одну сторону от AD), то, проведя через точки B и C прямую, параллельную AD, мы получим искомую трапецию.

Ответ: Да, могут.