Номер 8, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Определите вид четырехугольника, который получится, если последовательно соединить отрезками середины сторон равнобедренной трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По определению, у равнобедренной трапеции боковые стороны равны ($AB = CD$), а также равны диагонали ($AC = BD$).

Обозначим точки $K$, $L$, $M$, $N$ как середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ соответственно. Требуется определить вид четырехугольника $KLMN$, который образуется при последовательном соединении этих точек.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$, соединяющий середины сторон $AB$ и $BC$, является его средней линией. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Следовательно, $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC$.

2. Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $NM$ соединяет середины сторон $CD$ и $AD$, поэтому является его средней линией. Следовательно, $NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2} AC$.

3. Из первых двух пунктов следует, что $KL \parallel NM$ и $KL = NM$. По признаку параллелограмма (если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны), четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом. Отметим, что этот вывод (теорема Вариньона) справедлив для любого четырехугольника.

4. Теперь рассмотрим другую диагональ трапеции, $BD$. В треугольнике $ABD$ отрезок $KN$ является средней линией. Следовательно, $KN \parallel BD$ и $KN = \frac{1}{2} BD$.

5. Мы установили, что $KLMN$ — это параллелограмм, и нашли длины его смежных сторон: $KL = \frac{1}{2} AC$ и $KN = \frac{1}{2} BD$.

6. Используем ключевое свойство равнобедренной трапеции — равенство ее диагоналей: $AC = BD$.

7. Сравнивая длины смежных сторон параллелограмма $KLMN$, получаем: $KL = \frac{1}{2} AC$ и $KN = \frac{1}{2} BD$. Поскольку $AC = BD$, отсюда следует, что $KL = KN$.

Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Так как $KLMN$ — это параллелограмм с равными смежными сторонами $KL$ и $KN$, то все его стороны равны ($KL=LM=MN=NK$).

Таким образом, четырехугольник, полученный соединением середин сторон равнобедренной трапеции, является ромбом.

Ответ: ромб.