Номер 5, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Изобразите какой-нибудь прямоугольник $ABCD$, одна сторона которого показана на рисунке 6.5.

Рис. 6.5

Чтобы построить прямоугольник на клетчатой бумаге, нужно воспользоваться свойством перпендикулярности его смежных сторон. Если одна сторона задана смещением на $a$ клеток по горизонтали и $b$ клеток по вертикали (что можно представить как вектор $(a, b)$), то смежная с ней сторона должна быть перпендикулярна ей. На клетчатой бумаге это соответствует смещению на $b$ клеток по горизонтали и $a$ клеток по вертикали, причем направление одного из смещений меняется на противоположное. То есть, вектору $(a, b)$ будут перпендикулярны векторы $(-b, a)$ и $(b, -a)$. Для каждого из рисунков существует два возможных решения, мы приведем по одному.

На левом рисунке дана сторона $AB$. Чтобы переместиться из точки $A$ в точку $B$, необходимо сместиться на 4 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Этому смещению соответствует вектор $\vec{v}_{AB} = (4, 2)$.

Для построения смежной стороны $AD$ нам нужен вектор, перпендикулярный вектору $\vec{v}_{AB}$. Таким вектором может быть, например, $\vec{v}_{AD} = (-2, 4)$. Это соответствует смещению на 2 клетки влево и 4 клетки вверх.

1. От точки $A$ откладываем вектор $\vec{v}_{AD} = (-2, 4)$: смещаемся на 2 клетки влево и 4 клетки вверх, чтобы найти положение вершины $D$.

2. Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD}$ и $\vec{DC} = \vec{AB}$. Чтобы найти вершину $C$, можно отложить вектор $\vec{v}_{AD}$ от точки $B$ (сместиться на 2 клетки влево и 4 клетки вверх) или отложить вектор $\vec{v}_{AB}$ от точки $D$ (сместиться на 4 клетки вправо и 2 клетки вверх). Оба способа приведут к одной и той же точке $C$.

3. Соединяем точки $A, B, C, D$ и получаем искомый прямоугольник.

Ответ: Чтобы достроить прямоугольник $ABCD$ на левом рисунке, нужно от точки $A$ отступить 2 клетки влево и 4 клетки вверх, чтобы получить точку $D$. Затем от точки $B$ также отступить 2 клетки влево и 4 клетки вверх, чтобы получить точку $C$. Соединить вершины $A, B, C, D$.

На правом рисунке дана сторона $AD$. Чтобы переместиться из точки $A$ в точку $D$, необходимо сместиться на 1 клетку влево и на 3 клетки вверх. Этому смещению соответствует вектор $\vec{v}_{AD} = (-1, 3)$.

Для построения смежной стороны $AB$ нам нужен вектор, перпендикулярный вектору $\vec{v}_{AD}$. Таким вектором может быть, например, $\vec{v}_{AB} = (3, 1)$. Это соответствует смещению на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх.

1. От точки $A$ откладываем вектор $\vec{v}_{AB} = (3, 1)$: смещаемся на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх, чтобы найти положение вершины $B$.

2. Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны, поэтому $\vec{DC} = \vec{AB}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$. Чтобы найти вершину $C$, можно отложить вектор $\vec{v}_{AB}$ от точки $D$ (сместиться на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх) или отложить вектор $\vec{v}_{AD}$ от точки $B$ (сместиться на 1 клетку влево и 3 клетки вверх). Оба способа приведут к одной и той же точке $C$.

3. Соединяем точки $A, B, C, D$ и получаем искомый прямоугольник.

Ответ: Чтобы достроить прямоугольник $ABCD$ на правом рисунке, нужно от точки $A$ отступить 3 клетки вправо и 1 клетку вверх, чтобы получить точку $B$. Затем от точки $D$ также отступить 3 клетки вправо и 1 клетку вверх, чтобы получить точку $C$. Соединить вершины $A, B, C, D$.