Номер 4, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см, диагонали пересекаются под углом $60^\circ$. Найдите диагонали прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник ABCD, где AB – меньшая сторона, равная $5 \text{ см}$. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

По свойству диагоналей прямоугольника, они равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AC = BD$ и $AO = OC = BO = OD$.

Рассмотрим треугольник AOB. Так как $AO = BO$, этот треугольник является равнобедренным.

Диагонали пересекаются под углом $60^\circ$. Это означает, что один из углов при вершине O равен $60^\circ$, а смежный с ним угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Меньшая сторона прямоугольника лежит напротив меньшего угла, образованного диагоналями. Следовательно, угол $\angle AOB$, который лежит напротив стороны AB, равен $60^\circ$.

Таким образом, треугольник AOB — равнобедренный с углом при вершине $60^\circ$. Найдем углы при основании AB: $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все три угла треугольника AOB равны $60^\circ$, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому $AO = BO = AB$.

Так как по условию меньшая сторона $AB = 5 \text{ см}$, то и половины диагоналей равны $5 \text{ см}$: $AO = 5 \text{ см}$ и $BO = 5 \text{ см}$.

Длина всей диагонали AC равна сумме длин ее половин: $AC = AO + OC = 2 \cdot AO$. $AC = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$.

Поскольку диагонали прямоугольника равны, $AC = BD = 10 \text{ см}$.

Ответ: диагонали прямоугольника равны $10 \text{ см}$.