Номер 1, страница 27 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Существует ли четырехугольник, не являющийся прямоугольником, диагонали которого были бы равны?

1. Да, такой четырехугольник существует. Примером такого четырехугольника является равнобокая (или равнобедренная) трапеция, которая не является прямоугольником.

Равнобокая трапеция — это четырехугольник, у которого одна пара противолежащих сторон параллельна (основания), а две другие стороны (боковые) равны по длине.

Докажем, что у равнобокой трапеции диагонали равны.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По определению, $AB = CD$ и $AD \parallel BC$. Также у равнобокой трапеции равны углы при основании, то есть $\angle BAD = \angle CDA$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.

В этих треугольниках:

1. Сторона $AB$ равна стороне $CD$ (по определению равнобокой трапеции).

2. Угол $\angle BAD$ равен углу $\angle CDA$ (как углы при основании равнобокой трапеции).

3. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABD = \triangle DCA$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов. В данном случае нас интересуют стороны $BD$ и $AC$, которые являются диагоналями трапеции. Таким образом, $BD = AC$.

Мы доказали, что у равнобокой трапеции диагонали равны. При этом, в общем случае, равнобокая трапеция не является прямоугольником, так как её углы не обязательно прямые. Прямоугольником является только частный случай равнобокой трапеции, у которой боковые стороны перпендикулярны основаниям.

Ответ: Да, существует. Например, любая равнобокая трапеция, не являющаяся прямоугольником.