Номер 10, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противолежащей стороне (рис. 5.10). Как связаны между собой стороны данного параллелограмма?

Рис. 5.10

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Согласно условию, биссектрисы углов $\angle ADC$ и $\angle BCD$, прилежащих к стороне $DC$, пересекаются в точке $E$, которая лежит на противолежащей стороне $AB$. Таким образом, $DE$ — биссектриса угла $\angle ADC$, а $CE$ — биссектриса угла $\angle BCD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADE$.
Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$.
Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $DC$ и секущую $DE$. Углы $\angle AED$ и $\angle EDC$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle AED = \angle EDC$.
Так как $DE$ является биссектрисой угла $\angle ADC$, то по определению биссектрисы $\angle ADE = \angle EDC$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle AED = \angle ADE$.
Треугольник, в котором два угла равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $\triangle ADE$ — равнобедренный, и его стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AD = AE$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BCE$.
Рассмотрим те же параллельные прямые $AB$ и $DC$ и секущую $CE$. Углы $\angle BEC$ и $\angle DCE$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle BEC = \angle DCE$.
Так как $CE$ является биссектрисой угла $\angle BCD$, то по определению биссектрисы $\angle BCE = \angle DCE$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle BEC = \angle BCE$.
Следовательно, треугольник $\triangle BCE$ также является равнобедренным, и его стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $BC = BE$.

Точка $E$ лежит на стороне $AB$. Это означает, что длина отрезка $AB$ равна сумме длин отрезков $AE$ и $BE$: $AB = AE + BE$.
Подставим в это равенство найденные ранее соотношения $AD = AE$ и $BC = BE$:
$AB = AD + BC$.
В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AD = BC$. Заменив $BC$ на $AD$, получим:
$AB = AD + AD = 2 \cdot AD$.

Таким образом, сторона параллелограмма, на которой лежит точка пересечения биссектрис, в два раза длиннее смежной с ней стороны.
Ответ: Одна из сторон параллелограмма в два раза больше другой (смежной) стороны.