Номер 3, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Дан параллелограмм $ABCD$ (рис. $5.5$). $E, F, G, H$ — середины его сторон. Будет ли четырехугольник $EFGH$ параллелограммом? Почему?

Да, четырехугольник EFGH будет параллелограммом.

Почему?

Чтобы доказать, что четырехугольник EFGH является параллелограммом, воспользуемся свойством средней линии треугольника и признаком параллелограмма.

1. Проведем диагональ AC в исходном параллелограмме ABCD. Эта диагональ делит параллелограмм на два треугольника: ▵ABC и ▵ADC.

2. Рассмотрим треугольник ▵ABC. По условию, точка H — середина стороны AB, а точка E — середина стороны BC. Следовательно, отрезок HE является средней линией треугольника ▵ABC. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит:
$HE \parallel AC$ и $HE = \frac{1}{2}AC$.

3. Теперь рассмотрим треугольник ▵ADC. По условию, точка G — середина стороны AD, а точка F — середина стороны CD. Следовательно, отрезок GF является средней линией треугольника ▵ADC. По тому же свойству:
$GF \parallel AC$ и $GF = \frac{1}{2}AC$.

4. Из пунктов 2 и 3 мы получили, что $HE \parallel AC$ и $GF \parallel AC$. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Таким образом, $HE \parallel GF$.

5. Также из пунктов 2 и 3 мы получили, что $HE = \frac{1}{2}AC$ и $GF = \frac{1}{2}AC$. Следовательно, $HE = GF$.

6. Мы установили, что в четырехугольнике EFGH две противоположные стороны, HE и GF, одновременно и параллельны, и равны. По одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, четырехугольник EFGH — параллелограмм.

Ответ: Да, четырехугольник EFGH будет параллелограммом. Это верно для любого выпуклого четырехугольника (Теорема Вариньона) и, в частности, для параллелограмма. Доказательство основано на том, что противоположные стороны четырехугольника EFGH (например, HE и GF) параллельны и равны, так как они обе являются средними линиями треугольников (▵ABC и ▵ADC соответственно), параллельны одной и той же диагонали (AC) и равны ее половине.