Номер 7, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. На продолжении противолежащих сторон параллелограмма $ABCD$ отложены равные отрезки $AE$, $CF$ (рис. 5.7) и проведены отрезки $BE$, $DF$. Докажите, что полученный четырехугольник $BFDE$ — параллелограмм.

Дано:

$ABCD$ — параллелограмм.

Точка $E$ лежит на продолжении стороны $DA$ за точку $A$.

Точка $F$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C$.

$AE = CF$.

Доказать:

$BFDE$ — параллелограмм.

Доказательство:

Для доказательства того, что четырехугольник $BFDE$ является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Рассмотрим противолежащие стороны $ED$ и $BF$ четырехугольника $BFDE$.

1. Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны $AD$ и $BC$ параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Точка $E$ принадлежит прямой $AD$, а точка $F$ принадлежит прямой $BC$. Следовательно, прямая, содержащая отрезок $ED$, параллельна прямой, содержащей отрезок $BF$. Таким образом, мы получаем, что $ED \parallel BF$.

2. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны также и равны: $AD = BC$.

По условию задачи, отрезки $AE$ и $CF$ равны: $AE = CF$.

Длина стороны $ED$ складывается из длин отрезков $AE$ и $AD$: $ED = AE + AD$.

Длина стороны $BF$ складывается из длин отрезков $BC$ и $CF$: $BF = BC + CF$.

Зная, что $AD = BC$ и $AE = CF$, мы можем утверждать, что суммы $AE + AD$ и $BC + CF$ равны.

Следовательно, $ED = BF$.

3. Мы установили, что в четырехугольнике $BFDE$ две противолежащие стороны, $ED$ и $BF$, одновременно параллельны ($ED \parallel BF$) и равны ($ED = BF$).

Согласно признаку параллелограмма, четырехугольник $BFDE$ является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, четырехугольник $BFDE$ является параллелограммом.