Номер 21, страница 23 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Изобразите четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны. Будет ли этот четырехугольник параллелограммом?

Изобразите четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно равны.

Представим четырехугольник $ABCD$. Согласно условию, его противолежащие стороны попарно равны. Это означает, что длина стороны $AB$ равна длине стороны $CD$, а длина стороны $BC$ равна длине стороны $DA$.

Математически это записывается так: $AB = CD$ и $BC = DA$.

Визуально такой четырехугольник представляет собой параллелограмм.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$, для которого выполняются равенства $AB = CD$ и $BC = DA$.

Будет ли этот четырехугольник параллелограммом?

Да, такой четырехугольник всегда будет являться параллелограммом. Это утверждение является одним из признаков параллелограмма. Приведем доказательство.

Дано: Четырехугольник $ABCD$, в котором $AB = CD$ и $BC = DA$.
Доказать: $ABCD$ — параллелограмм.

Доказательство:
1. Проведем диагональ $AC$. Она разделит четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

2. Рассмотрим эти два треугольника. У них:
- $AB = CD$ (по условию),
- $BC = DA$ (по условию),
- $AC$ — общая сторона.

3. Таким образом, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Значит:
- $\angle BCA = \angle DAC$,
- $\angle BAC = \angle DCA$.

5. Углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ являются внутренними накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Так как эти углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямая $BC$ параллельна прямой $AD$ ($BC \parallel AD$).

6. Аналогично, углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как эти углы равны, то прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ ($AB \parallel CD$).

7. Мы доказали, что у четырехугольника $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$). По определению, четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Да, будет. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.