Номер 17, страница 22 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам (рис. 4.7). Найдите периметр получившегося четырехугольника.

Рис. 4.7

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AC$ и $BC$, равными 5 м. То есть $AC = BC = 5$ м. На основании $AB$ выбрана точка $D$, через которую проведены две прямые, параллельные боковым сторонам: $DE \parallel BC$ (где $E$ лежит на $AC$) и $DF \parallel AC$ (где $F$ лежит на $BC$). Необходимо найти периметр получившегося четырехугольника $CEDF$.

1. Определение вида четырехугольника $CEDF$.
По построению, сторона $DE$ параллельна стороне $BC$, а значит и отрезку $FC$. Также по построению, сторона $DF$ параллельна стороне $AC$, а значит и отрезку $EC$. Поскольку у четырехугольника $CEDF$ противолежащие стороны попарно параллельны ($DE \parallel FC$ и $DF \parallel EC$), то $CEDF$ является параллелограммом.

2. Анализ свойств полученных треугольников.
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, то углы при основании равны: $\angle CAB = \angle CBA$.

Рассмотрим треугольник $ADE$. Прямая $DE$ параллельна $BC$, а $AB$ — секущая, следовательно, соответственные углы равны: $\angle ADE = \angle CBA$. Так как $\angle CAB = \angle CBA$, то получаем, что $\angle DAE = \angle ADE$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Значит, треугольник $ADE$ — равнобедренный, и $AE = DE$.

Рассмотрим треугольник $DBF$. Прямая $DF$ параллельна $AC$, а $AB$ — секущая, следовательно, соответственные углы равны: $\angle BDF = \angle CAB$. Так как $\angle CBA = \angle CAB$, то получаем, что $\angle FBD = \angle BDF$. Следовательно, треугольник $DBF$ также является равнобедренным, и $BF = DF$.

3. Вычисление периметра.
Периметр четырехугольника $CEDF$ равен сумме длин его сторон: $P_{CEDF} = CE + ED + DF + FC$.

Используя равенства, полученные в предыдущем пункте ($DE = AE$ и $DF = BF$), заменим стороны в формуле периметра: $P_{CEDF} = CE + AE + BF + FC$.

Сгруппируем слагаемые: $P_{CEDF} = (CE + AE) + (BF + FC)$.

Как видно из рисунка, сумма длин отрезков $CE$ и $AE$ равна длине стороны $AC$, а сумма длин отрезков $BF$ и $FC$ равна длине стороны $BC$: $CE + AE = AC$ $BF + FC = BC$

Таким образом, периметр четырехугольника $CEDF$ равен сумме длин боковых сторон исходного треугольника: $P_{CEDF} = AC + BC$.

Подставим заданные значения: $P_{CEDF} = 5 \text{ м} + 5 \text{ м} = 10 \text{ м}$.

Ответ: 10 м.