Номер 5, страница 21 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Может ли высота параллелограмма быть больше:

а) одной из его сторон;

б) всех его сторон?

а) Да, высота параллелограмма может быть больше одной из его сторон.
Рассмотрим параллелограмм со сторонами $a$ и $b$. Пусть $h_a$ — это высота, опущенная на сторону $a$. Эта высота, сторона $b$ и часть стороны $a$ (или ее продолжения) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона $b$ является гипотенузой, а высота $h_a$ — катетом.
По свойству прямоугольного треугольника, катет всегда меньше или равен гипотенузе. Следовательно, $h_a \le b$. Это означает, что высота, опущенная на сторону $a$, не может быть больше стороны $b$.
Однако высота $h_a$ может быть больше стороны $a$. Для этого необходимо, чтобы сторона $b$ была длиннее стороны $a$.
Высота $h_a$ вычисляется по формуле $h_a = b \cdot \sin\alpha$, где $\alpha$ — это угол между сторонами $a$ и $b$. Условие $h_a > a$ можно записать как $b \cdot \sin\alpha > a$.
Например, возьмем параллелограмм со сторонами $a = 4$ см и $b = 5$ см и острым углом между ними $\alpha = 90^\circ$ (то есть это прямоугольник). В этом случае высота, опущенная на сторону $a$, будет равна стороне $b$. То есть $h_a = 5$ см. Так как $5 > 4$, высота $h_a$ больше стороны $a$.
Другой пример: пусть $a = 6$ см, $b = 10$ см, а угол $\alpha = 60^\circ$. Тогда высота $h_a = 10 \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66$ см. В этом случае $h_a \approx 8.66$ см, что больше стороны $a = 6$ см.
Ответ: Да, может.

б) Нет, высота параллелограмма не может быть больше всех его сторон.
Как было показано в пункте а), для параллелограмма со сторонами $a$ и $b$ справедливы следующие соотношения для высот $h_a$ (к стороне $a$) и $h_b$ (к стороне $b$):
$h_a \le b$
$h_b \le a$
Эти неравенства верны, потому что высота является катетом в прямоугольном треугольнике, где смежная сторона параллелограмма является гипотенузой.
Чтобы некоторая высота была больше всех сторон, нужно было бы, например, чтобы для высоты $h_a$ одновременно выполнялись два неравенства: $h_a > a$ и $h_a > b$.
Но второе неравенство ($h_a > b$) прямо противоречит доказанному свойству $h_a \le b$. Таким образом, высота $h_a$ не может быть больше стороны $b$. Аналогично, высота $h_b$ не может быть больше стороны $a$.
Следовательно, высота параллелограмма не может быть больше всех его сторон.
Ответ: Нет, не может.