Номер 12, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Основания трапеции равны 4 см и 10 см. Найдите отрезки, на которые делит среднюю линию трапеции одна из ее диагоналей.

Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$, где $a = 4$ см и $b = 10$ см. Пусть MN — средняя линия этой трапеции. Проведем одну из диагоналей, например, AC. Пусть точка K — точка пересечения диагонали AC и средней линии MN. Диагональ делит трапецию на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Средняя линия MN при этом делится на два отрезка: MK и KN.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Точка M является серединой боковой стороны AB. Так как средняя линия трапеции MN параллельна ее основаниям, то отрезок MK параллелен основанию BC. По теореме о средней линии треугольника (или по теореме Фалеса), если через середину одной стороны треугольника провести прямую, параллельную второй стороне, то она пересечет третью сторону в ее середине. Таким образом, отрезок MK является средней линией треугольника $\triangle ABC$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Следовательно, длина отрезка MK равна половине длины основания BC:

$MK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Точка N является серединой стороны CD. Отрезок KN (как часть средней линии трапеции) параллелен основанию AD. По аналогии с предыдущим рассуждением, отрезок KN является средней линией треугольника $\triangle ADC$.

Его длина равна половине длины основания AD:

$KN = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Таким образом, диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки длиной 2 см и 5 см.

Ответ: 2 см и 5 см.