Номер 19, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Пользуясь линейкой без делений, постройте среднюю линию трапеции $ABCD$ (рис. 10.8).

Рис. 10.8

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины её боковых (непараллельных) сторон. Чтобы построить среднюю линию трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, необходимо найти середины боковых сторон $AB$ и $CD$. Это можно сделать с помощью линейки без делений, используя свойства трапеции и параллельных прямых. Наличие клетчатой бумаги упрощает построение параллельных прямых.

Существует несколько способов построения. Приведём один из наиболее наглядных, основанный на известной теореме о трапеции.

Построение:

1. Найдём середину одного из оснований, например, $AD$. Для этого выполним следующие действия:
а) С помощью линейки продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $P$.
б) Проведём диагонали трапеции $AC$ и $BD$. Обозначим точку их пересечения буквой $O$.
в) Проведём прямую через точки $P$ и $O$. Согласно теореме о трапеции, эта прямая пересекает оба основания в их серединах. Обозначим точку пересечения прямой $PO$ с основанием $AD$ как $L$. Точка $L$ является серединой основания $AD$.

2. Найдём середину одной из диагоналей, например, $AC$.
Рассмотрим треугольник $ADC$. Мы уже нашли точку $L$ — середину его стороны $AD$. Проведём через точку $L$ прямую, параллельную стороне $CD$. По теореме Фалеса (или свойству средней линии треугольника), эта прямая пересечёт сторону $AC$ в её середине. Обозначим эту точку как $M_{AC}$.

3. Построим среднюю линию.
Известно, что средняя линия трапеции проходит через середины её диагоналей. Поскольку мы нашли точку $M_{AC}$ — середину диагонали $AC$, — мы можем провести через неё прямую, параллельную основаниям $AD$ и $BC$. Эта прямая и будет являться искомой средней линией трапеции. Отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами $AB$ и $CD$, является средней линией трапеции.

Ответ: Искомая средняя линия построена на втором рисунке. Построение основано на нахождении середины одного из оснований с помощью точки пересечения диагоналей и точки пересечения продолжений боковых сторон, последующем нахождении середины диагонали и проведении через неё прямой, параллельной основаниям.