Номер 21, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Изобразите угол. Отложите на одной его стороне несколько равных отрезков. Проведите через их концы параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла. Что можно сказать об отрезках, которые отсекаются этими прямыми на второй стороне угла?

Для ответа на этот вопрос необходимо выполнить геометрическое построение и применить теорему Фалеса.

1. Построение

Сначала изобразим произвольный угол. Назовем его вершину точкой $O$, а его стороны — лучами $a$ и $b$.
На стороне $a$ отложим от вершины $O$ несколько равных отрезков. Обозначим концы этих отрезков точками $A_1, A_2, A_3, \dots$ Таким образом, по построению мы имеем: $OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots$
Теперь через точки $A_1, A_2, A_3, \dots$ проведем серию параллельных прямых так, чтобы они пересекали вторую сторону угла, луч $b$. Пусть точки пересечения этих прямых со стороной $b$ будут соответственно $B_1, B_2, B_3, \dots$ Таким образом, мы имеем $A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B_3 \parallel \dots$

2. Применение теоремы Фалеса и вывод

Ситуация, описанная в задаче, является классическим примером применения теоремы Фалеса.
Теорема Фалеса гласит: если параллельные прямые, пересекающие две данные прямые (в нашем случае — стороны угла), отсекают на одной прямой равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой прямой.
В нашем построении:

• Стороны угла $a$ и $b$ являются двумя пересекающимися прямыми.
• Прямые $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3, \dots$ являются параллельными прямыми.
• На стороне $a$ эти прямые (вместе с точкой $O$) отсекают равные отрезки $OA_1, A_1A_2, A_2A_3, \dots$ по нашему условию.

Следовательно, согласно теореме Фалеса, на второй стороне угла, $b$, эти параллельные прямые также отсекут равные между собой отрезки.
Давайте это докажем для первых нескольких отрезков. Рассмотрим треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_2B_2$. Поскольку прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ параллельны по построению, то эти треугольники подобны (угол при вершине $O$ у них общий, а углы $\angle OA_1B_1$ и $\angle OA_2B_2$ равны как соответственные).
Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответственных сторон: $k = \frac{OA_2}{OA_1}$.
По нашему построению, $OA_1 = A_1A_2$, значит $OA_2 = OA_1 + A_1A_2 = 2 \cdot OA_1$.
Таким образом, $k = \frac{2 \cdot OA_1}{OA_1} = 2$.
Из подобия треугольников следует, что отношение других сторон также равно $k$: $\frac{OB_2}{OB_1} = 2$, откуда $OB_2 = 2 \cdot OB_1$.
Так как отрезок $OB_2$ состоит из двух частей, $OB_1$ и $B_1B_2$, мы можем записать: $OB_2 = OB_1 + B_1B_2$.
Подставляя найденное значение, получаем: $2 \cdot OB_1 = OB_1 + B_1B_2$, что означает $B_1B_2 = OB_1$.
Проводя аналогичные рассуждения для треугольников $\triangle OA_3B_3$ и $\triangle OA_2B_2$, можно доказать, что $B_2B_3 = OB_1$, и так далее для всех последующих отрезков.

Таким образом, мы приходим к выводу, что отрезки, отсекаемые параллельными прямыми на второй стороне угла, не просто равны между собой, но в данном случае они также равны первому отрезку, отложенному от вершины.
$OB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = \dots$

Ответ: Отрезки, которые отсекаются этими параллельными прямыми на второй стороне угла, будут равны между собой.