Номер 6, страница 47 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Стороны угла с вершиной $O$ пересечены двумя параллельными прямыми в точках $A$, $B$ и $C$, $D$ соответственно. Найдите:

a) $CD$, если $OA = 8 \text{ см}$, $AB = 4 \text{ см}$, $OD = 6 \text{ см}$;

б) $OC$ и $OD$, если $OA : OB = 3 : 5$ и $OD - OC = 8 \text{ (см)}$;

в) $OA$ и $OB$, если $OC : CD = 2 : 3$ и $OA + OB = 14 \text{ (см)}$.

Для решения задачи используется обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках). Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам на другой стороне. В данном случае это означает, что выполняется соотношение $ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} $. Из этого следует также, что $ \frac{OA}{AB} = \frac{OC}{CD} $.

а)

Дано: $OA = 8$ см, $AB = 4$ см, $OD = 6$ см. Найти $CD$.

Сначала найдем длину отрезка $OB$. Так как точки A и B лежат на одной стороне угла, исходящей из вершины O, и точка A находится между O и B, то $OB = OA + AB$.

$OB = 8 + 4 = 12$ см.

Согласно теореме Фалеса, имеем пропорцию:

$ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} $

Подставим известные значения и найдем $OC$:

$ \frac{8}{12} = \frac{OC}{6} $

$ OC = \frac{8 \cdot 6}{12} = \frac{48}{12} = 4 $ см.

Отрезок $CD$ является разностью длин отрезков $OD$ и $OC$:

$CD = OD - OC = 6 - 4 = 2$ см.

Ответ: $CD = 2$ см.

б)

Дано: $OA : OB = 3 : 5$ и $OD - OC = 8$ см. Найти $OC$ и $OD$.

Из теоремы о пропорциональных отрезках следует:

$ \frac{OC}{OD} = \frac{OA}{OB} $

Подставим известное отношение:

$ \frac{OC}{OD} = \frac{3}{5} $

Из этой пропорции выразим $OC$ через $OD$: $OC = \frac{3}{5}OD$.

Нам также дано условие $OD - OC = 8$. Подставим в него полученное выражение для $OC$:

$ OD - \frac{3}{5}OD = 8 $

$ \frac{2}{5}OD = 8 $

Теперь найдем $OD$:

$ OD = 8 \cdot \frac{5}{2} = 20 $ см.

Зная $OD$, находим $OC$:

$ OC = OD - 8 = 20 - 8 = 12 $ см.

Ответ: $OC = 12$ см, $OD = 20$ см.

в)

Дано: $OC : CD = 2 : 3$ и $OA + OB = 14$ см. Найти $OA$ и $OB$.

Из отношения $OC : CD = 2 : 3$ следует, что мы можем представить длины этих отрезков как $OC = 2x$ и $CD = 3x$ для некоторого коэффициента $x$.

Тогда длина отрезка $OD$ равна их сумме:

$OD = OC + CD = 2x + 3x = 5x$.

Найдем отношение $OC$ к $OD$:

$ \frac{OC}{OD} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5} $

По теореме Фалеса, $ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} $, следовательно:

$ \frac{OA}{OB} = \frac{2}{5} $

Отсюда $OA = \frac{2}{5}OB$.

Используем второе данное условие $OA + OB = 14$ и подставим в него выражение для $OA$:

$ \frac{2}{5}OB + OB = 14 $

$ \frac{7}{5}OB = 14 $

Найдем $OB$:

$ OB = 14 \cdot \frac{5}{7} = 10 $ см.

Теперь найдем $OA$:

$ OA = 14 - OB = 14 - 10 = 4 $ см.

Ответ: $OA = 4$ см, $OB = 10$ см.