Номер 7, страница 47 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Даны три отрезка: $a$, $b$, и $c$. Какова должна быть длина четвертого отрезка $d$, чтобы из них можно было образовать две пары пропорциональных отрезков, если $a = 6 \text{ см}$, $b = 3 \text{ см}$, $c = 4 \text{ см}$ и отрезок $d$ больше каждого из этих отрезков.

Чтобы из четырех отрезков $a, b, c, d$ можно было составить две пары пропорциональных отрезков, их длины должны удовлетворять некоторой пропорции. Даны длины трех отрезков: $a = 6$ см, $b = 3$ см, $c = 4$ см. Четвертый отрезок $d$ должен быть длиннее каждого из данных отрезков. Так как наибольшая из известных длин равна 6 см, то условие для $d$ можно записать как $d > 6$ см.

Пропорциональность четырех отрезков означает, что отношение длин в одной паре равно отношению длин в другой. Рассмотрим все возможные способы составления пропорции.

Случай 1: Пары отрезков $(a, b)$ и $(c, d)$. Пропорция может быть $a/b = c/d$ или $a/b = d/c$. Если $a/b = c/d$, то $6/3 = 4/d$, откуда $2 = 4/d$ и $d = 2$ см. Это значение не удовлетворяет условию $d > 6$ см. Если $a/b = d/c$, то $6/3 = d/4$, откуда $2 = d/4$ и $d = 8$ см. Это значение удовлетворяет условию $d > 6$ см.

Случай 2: Пары отрезков $(a, c)$ и $(b, d)$. Пропорция может быть $a/c = b/d$ или $a/c = d/b$. Если $a/c = b/d$, то $6/4 = 3/d$, откуда $1.5 = 3/d$ и $d = 2$ см. Это значение не удовлетворяет условию $d > 6$ см. Если $a/c = d/b$, то $6/4 = d/3$, откуда $1.5 = d/3$ и $d = 4.5$ см. Это значение не удовлетворяет условию $d > 6$ см.

Случай 3: Пары отрезков $(a, d)$ и $(b, c)$. Пропорция может быть $a/d = b/c$ или $a/d = c/b$. Если $a/d = b/c$, то $6/d = 3/4$, откуда $6 \cdot 4 = 3 \cdot d$, то есть $24 = 3d$ и $d = 8$ см. Это значение мы уже получили, и оно удовлетворяет условию $d > 6$ см. Если $a/d = c/b$, то $6/d = 4/3$, откуда $6 \cdot 3 = 4 \cdot d$, то есть $18 = 4d$ и $d = 4.5$ см. Это значение не удовлетворяет условию $d > 6$ см.

Таким образом, единственное значение длины отрезка $d$, которое удовлетворяет всем условиям задачи, — это 8 см.

Ответ: 8 см.