Номер 14, страница 48 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. На продолжении стороны $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $D$, $AB = BD$. Через нее и середину $E$ стороны $BC$ проведена прямая, пересекающая сторону $AC$ в точке $F$ (рис. 11.11). Найдите отношение $AF : FC$.

Рис. 11.11

Для решения этой задачи можно использовать два способа: метод с дополнительным построением и теорему Менелая.

Способ 1: С дополнительным построением

1. Проведем через точку B прямую, параллельную прямой DF, которая пересечет сторону AC в точке K. Таким образом, по построению $BK \parallel DF$.

2. Рассмотрим треугольник $ADF$. По условию, $AB = BD$, значит, точка B является серединой отрезка AD. Так как $BK \parallel DF$, то по теореме Фалеса (или как свойство о пропорциональных отрезках), отрезок BK отсекает на стороне AF отрезок AK, такой что K является серединой AF. Следовательно, $AK = KF$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $BKC$. По условию, точка E является серединой стороны BC. Так как EF является частью прямой DF, а мы построили $BK \parallel DF$, то $EF \parallel BK$. Отрезок EF соединяет середину стороны BC (точку E) с точкой F на стороне KC и параллелен третьей стороне BK. Это означает, что EF является средней линией треугольника $BKC$.

4. Из того, что EF — средняя линия треугольника $BKC$, следует, что точка F является серединой стороны KC. Таким образом, $KF = FC$.

5. Мы получили два равенства: $AK = KF$ и $KF = FC$. Отсюда следует, что $AK = KF = FC$.

6. Нас интересует отношение $AF : FC$. Выразим длину отрезка AF через длину отрезка FC: $AF = AK + KF = FC + FC = 2FC$.

7. Тогда искомое отношение равно:

$$ \frac{AF}{FC} = \frac{2FC}{FC} = 2 $$

Таким образом, $AF : FC = 2 : 1$.

Ответ: 2:1

Способ 2: По теореме Менелая

1. Теорема Менелая применяется к треугольнику, который пересекает некоторая прямая (секущая). В нашей задаче рассмотрим треугольник $ABC$ и секущую $DFE$.

2. Секущая $DFE$ пересекает сторону $AC$ в точке F, сторону $BC$ в точке E и продолжение стороны $AB$ в точке D. По теореме Менелая справедливо следующее соотношение:

$$ \frac{AF}{FC} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{BD}{DA} = 1 $$

3. Проанализируем каждое отношение в этой формуле на основе условий задачи:

• Отношение $\frac{AF}{FC}$ — это то, что нам нужно найти.
• Точка E — середина стороны BC, следовательно, $CE = EB$. Значит, $\frac{CE}{EB} = 1$.
• Точка D лежит на продолжении стороны AB, и по условию $AB = BD$. Это означает, что B является серединой отрезка AD. Длина всего отрезка DA равна $DA = DB + BA = BD + BD = 2BD$. Таким образом, отношение $\frac{BD}{DA} = \frac{BD}{2BD} = \frac{1}{2}$.

4. Теперь подставим известные значения в формулу теоремы Менелая:

$$ \frac{AF}{FC} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 $$

5. Из этого уравнения находим искомое отношение:

$$ \frac{AF}{FC} = 2 $$

Следовательно, $AF : FC = 2 : 1$.

Ответ: 2:1