Вопросы, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какие точки относятся к числу замечательных точек треугольника?

2. Как называется точка пересечения медиан треугольника?

3. Всегда ли высоты треугольника пересекаются?

4. Как называется точка пересечения высот или их продолжений?

1. Какие точки относятся к числу замечательных точек треугольника?

К числу классических замечательных точек треугольника относят четыре точки, каждая из которых обладает уникальными геометрическими свойствами и является точкой пересечения определённых линий, построенных в треугольнике:

• Точка пересечения медиан — называется центроидом или центром тяжести. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

• Точка пересечения биссектрис — называется инцентром. Это центр окружности, вписанной в треугольник.

• Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам — это центр окружности, описанной около треугольника.

• Точка пересечения высот (или их продолжений) — называется ортоцентром. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону.

Ответ: Точка пересечения медиан (центроид), точка пересечения биссектрис (инцентр), точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности) и точка пересечения высот (ортоцентр).

2. Как называется точка пересечения медиан треугольника?

Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или центром тяжести. В любом треугольнике все три медианы пересекаются в одной точке. Эта точка обладает важным свойством: она делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Например, для медианы $AM_a$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$, точка пересечения медиан $M$ делит ее так, что $AM:MM_a = 2:1$.

Ответ: Центроид или центр тяжести.

3. Всегда ли высоты треугольника пересекаются?

Нет, не всегда, если рассматривать высоты как отрезки. Пересечение высот в одной точке зависит от типа треугольника:

• В остроугольном треугольнике все три высоты являются отрезками внутри треугольника и пересекаются в одной точке (ортоцентре), которая также находится внутри.

• В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с его катетами, а третья проведена к гипотенузе. Они все пересекаются в одной точке — вершине прямого угла.

• В тупоугольном треугольнике только одна высота лежит внутри треугольника. Две другие высоты опускаются на продолжения сторон и лежат вне треугольника. Следовательно, сами отрезки-высоты не пересекаются в одной точке.

Однако прямые, содержащие высоты треугольника, всегда пересекаются в одной точке — ортоцентре. В случае тупоугольного треугольника эта точка лежит вне его.

Ответ: Нет, высоты как отрезки пересекаются в одной точке только для остроугольных и прямоугольных треугольников.

4. Как называется точка пересечения высот или их продолжений?

Точка, в которой пересекаются прямые, содержащие высоты треугольника, называется ортоцентром. Расположение ортоцентра напрямую зависит от вида треугольника:

• В остроугольном треугольнике ортоцентр находится внутри треугольника.

• В прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.

• В тупоугольном треугольнике ортоцентр находится вне треугольника.

Ответ: Ортоцентр.