Номер 6, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Где расположена точка пересечения высот прямоугольного треугольника?

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром. Чтобы определить, где находится ортоцентр в прямоугольном треугольнике, необходимо проанализировать его высоты. Высота треугольника — это перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором угол $\angle C$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$. Стороны $AC$ и $BC$ — это катеты, а $AB$ — гипотенуза.

Найдем три высоты этого треугольника:

1. Высота из вершины $A$ к стороне $BC$. Поскольку угол $\angle C$ прямой, катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$. Следовательно, сам катет $AC$ является высотой, проведенной из вершины $A$.

2. Высота из вершины $B$ к стороне $AC$. Аналогично, катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$. Таким образом, катет $BC$ является высотой, проведенной из вершины $B$.

3. Высота из вершины $C$ к гипотенузе $AB$. Это перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу. Обозначим его $CH$.

Теперь найдем точку, в которой пересекаются все три высоты. Две высоты, совпадающие с катетами $AC$ и $BC$, пересекаются в их общей точке — вершине $C$. Третья высота, $CH$, по определению также исходит из вершины $C$. Следовательно, все три высоты пересекаются в вершине $C$.

Таким образом, точка пересечения высот (ортоцентр) прямоугольного треугольника совпадает с вершиной его прямого угла.

Ответ: Точка пересечения высот прямоугольного треугольника расположена в вершине его прямого угла.