Номер 12, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Может ли одна биссектриса треугольника проходить через середину другой?

Предположим, что такое возможно. Пусть в невырожденном треугольнике $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$ одна биссектриса, например, биссектриса $AL$ угла $A$, проходит через середину $M$ другой биссектрисы, например, биссектрисы $BK$ угла $B$. Точка $K$ лежит на стороне $AC$, а точка $L$ — на стороне $BC$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. В этом треугольнике отрезок $AM$ является медианой, проведенной к стороне $BK$, так как по нашему предположению точка $M$ — середина отрезка $BK$.

Также по предположению, прямая $AM$ является биссектрисой угла $A$ треугольника $ABC$, а значит, и биссектрисой угла $BAK$ в треугольнике $ABK$.

Таким образом, в треугольнике $ABK$ медиана $AM$ и биссектриса из той же вершины $A$ совпадают. Согласно свойству треугольника, это возможно только в том случае, если треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $BK$. Следовательно, стороны, прилежащие к углу $A$, равны: $AB = AK$.

Теперь найдем длину отрезка $AK$. Так как $BK$ — биссектриса угла $B$ в треугольнике $ABC$, то по свойству биссектрисы она делит противолежащую сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a}$

При этом $AK + KC = AC = b$. Из пропорции можно выразить $KC = AK \cdot \frac{a}{c}$. Подставим это выражение в сумму длин отрезков:

$AK + AK \cdot \frac{a}{c} = b$

$AK \left(1 + \frac{a}{c}\right) = b$

$AK \left(\frac{c+a}{c}\right) = b$

Отсюда находим $AK = \frac{bc}{a+c}$.

Теперь используем полученное ранее условие равнобедренности треугольника $ABK$: $AB = AK$. Подставляя известные значения ($AB=c$), получаем равенство:

$c = \frac{bc}{a+c}$

Поскольку $c$ — длина стороны треугольника, $c > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $c$:

$1 = \frac{b}{a+c}$

Из этого следует, что $a+c = b$.

Данное равенство противоречит неравенству треугольника, которое утверждает, что для любого невырожденного треугольника сумма длин двух сторон всегда строго больше длины третьей стороны ($a+c > b$). Равенство $a+c=b$ может выполняться только для вырожденного треугольника, у которого все три вершины лежат на одной прямой.

Мы пришли к противоречию, следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Нет, в невырожденном треугольнике одна биссектриса не может проходить через середину другой.