Номер 4, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Три параллельные прямые пересечены тремя параллельными прямыми. Сколько при этом образовалось параллелограммов:

А. $4$ B. $6$ C. $8$ D. $9$?

Для образования параллелограмма необходимо выбрать две различные параллельные прямые из первого набора и две различные параллельные прямые из второго набора. Условие задачи предоставляет нам два набора параллельных прямых, в каждом из которых по три прямые.

Эта задача является комбинаторной. Нам нужно вычислить, сколькими способами можно выбрать 2 прямые из 3 в первом наборе, и сколькими способами можно выбрать 2 прямые из 3 во втором наборе. Общее число параллелограммов будет произведением этих двух чисел.

Число способов выбрать $k$ элементов из набора в $n$ элементов (без учета порядка) называется числом сочетаний и рассчитывается по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Сначала вычислим количество способов выбрать 2 прямые из первого набора, состоящего из 3 параллельных прямых ($n=3$, $k=2$):

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$

Затем вычислим количество способов выбрать 2 прямые из второго набора, который также состоит из 3 параллельных прямых ($n=3$, $k=2$):

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$

Чтобы найти общее количество параллелограммов, нужно перемножить полученные результаты:

Общее количество = (Число сочетаний для первого набора) $\times$ (Число сочетаний для второго набора) = $3 \times 3 = 9$.

Также можно визуализировать задачу. Три параллельные прямые, пересекающие три другие параллельные прямые, образуют сетку из 4-х самых маленьких параллелограммов. Подсчитаем все возможные параллелограммы: 4 маленьких (размера 1x1), 2 горизонтальных (размера 1x2), 2 вертикальных (размера 2x1) и 1 большой (размера 2x2). В сумме: $4 + 2 + 2 + 1 = 9$ параллелограммов.

Ответ: 9