Номер 8, страница 54 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника, равной 13 см, проведены прямые, параллельные его катетам. Определите вид образовавшегося четырехугольника и найдите его диагональ:

А. Параллелограмм; 13 см.

В. Прямоугольник; 13 см.

С. Квадрат; 6,5 см.

D. Прямоугольник; 6,5 см.

Определение вида образовавшегося четырехугольника

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Его катеты — это стороны $AC$ и $BC$, а гипотенуза — $AB$. По условию, длина гипотенузы $AB = 13$ см.

Обозначим середину гипотенузы $AB$ как точку $M$. Через точку $M$ проведем прямую, параллельную катету $AC$, которая пересечет катет $BC$ в точке $N$. Также через точку $M$ проведем прямую, параллельную катету $BC$, которая пересечет катет $AC$ в точке $K$. В результате образуется четырехугольник $CKMN$.

Рассмотрим свойства этого четырехугольника:

1. По построению, сторона $MN$ параллельна стороне $AC$ (и, следовательно, отрезку $KC$).

2. По построению, сторона $MK$ параллельна стороне $BC$ (и, следовательно, отрезку $CN$).

Поскольку у четырехугольника $CKMN$ противоположные стороны попарно параллельны, по определению он является параллелограммом.

Далее, так как исходный треугольник $ABC$ прямоугольный, его катеты $AC$ и $BC$ перпендикулярны, то есть $\angle C = 90^\circ$. Поскольку $MN \parallel AC$ и $AC \perp BC$, то и прямая $MN$ перпендикулярна прямой $BC$. Следовательно, угол $\angle KCN = 90^\circ$ (это угол исходного треугольника), а также, например, $\angle MNC = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, четырехугольник $CKMN$ — это прямоугольник.

Ответ: Прямоугольник.

Нахождение диагонали четырехугольника

Диагоналями образовавшегося прямоугольника $CKMN$ являются отрезки $CM$ и $KN$. В прямоугольнике диагонали равны по длине, поэтому нам достаточно найти длину одной из них, например, диагонали $CM$.

Отрезок $CM$ соединяет вершину прямого угла $C$ исходного треугольника $ABC$ с точкой $M$, которая является серединой гипотенузы $AB$. Таким образом, отрезок $CM$ является медианой, проведенной к гипотенузе.

Существует свойство прямоугольного треугольника, согласно которому медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.

Длина гипотенузы $AB$ нам известна из условия задачи: $AB = 13$ см.

Следовательно, длина медианы $CM$ (которая также является диагональю прямоугольника $CKMN$) равна:

$CM = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6,5$ см.

Ответ: 6,5 см.