Номер 14, страница 54 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне, острый угол, лежащий против этой диагонали, равен $40^\circ$. Найдите остальные углы трапеции, если меньшее основание равно другой боковой стороне:

A. $40^\circ$, $140^\circ$, $40^\circ$.

B. $100^\circ$, $80^\circ$, $90^\circ$.

C. $80^\circ$, $100^\circ$, $140^\circ$.

D. $50^\circ$, $100^\circ$, $40^\circ$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$.

Согласно условиям задачи:

1. Диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне. Примем, что диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$. Это означает, что $\angle ACD = 90^\circ$.

2. Острый угол, лежащий против этой диагонали, равен $40^\circ$. В треугольнике $ACD$ углом, лежащим напротив стороны $AC$, является угол $D$. Следовательно, $\angle ADC = 40^\circ$.

3. Меньшее основание равно другой боковой стороне. Меньшее основание это $BC$, а другая боковая сторона — $AB$. Таким образом, $AB = BC$.

Начнем решение с рассмотрения треугольника $ACD$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а нам известны два угла ($\angle ADC = 40^\circ$ и $\angle ACD = 90^\circ$), мы можем найти третий угол $\angle CAD$:

$\angle CAD = 180^\circ - \angle ADC - \angle ACD = 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ = 50^\circ$.

В трапеции основания параллельны ($AD \parallel BC$), а диагональ $AC$ является секущей. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, поэтому:

$\angle BCA = \angle CAD = 50^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. По условию $AB = BC$, значит, он равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$\angle BAC = \angle BCA = 50^\circ$.

Зная два угла в треугольнике $ABC$, найдем третий угол, который является углом $B$ трапеции:

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Теперь мы можем определить все четыре угла трапеции:

• Угол $A$ состоит из двух углов: $\angle DAB = \angle CAD + \angle BAC = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ$.

• Угол $B$ мы уже нашли: $\angle ABC = 80^\circ$.

• Угол $C$ состоит из двух углов: $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 50^\circ + 90^\circ = 140^\circ$.

• Угол $D$ был дан в условии: $\angle ADC = 40^\circ$.

Итак, углы трапеции равны $100^\circ, 80^\circ, 140^\circ, 40^\circ$. В задаче требовалось найти остальные углы, помимо данного угла в $40^\circ$. Это углы $80^\circ, 100^\circ, 140^\circ$.

Ответ: $80^\circ, 100^\circ, 140^\circ$.