Номер 17, страница 55 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Какой четырехугольник получится, если последовательно соединить середины сторон равнобедренной трапеции:

А. Параллелограмм.

В. Прямоугольник.

С. Ромб.

D. Квадрат?

Для решения этой задачи рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По определению равнобедренной трапеции, ее боковые стороны равны ($AB = CD$), а также углы при каждом основании равны. Одно из важных свойств равнобедренной трапеции — равенство ее диагоналей ($AC = BD$).

Пусть $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Соединим эти точки последовательно, чтобы получить четырехугольник $KLMN$.

1. Определение типа четырехугольника $KLMN$

Воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

• В треугольнике $ABC$ отрезок $KL$ является средней линией. Следовательно, $KL$ параллельна диагонали $AC$ и равна ее половине: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.
• В треугольнике $ADC$ отрезок $MN$ является средней линией. Следовательно, $MN$ параллельна диагонали $AC$ и равна ее половине: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Из этих двух утверждений следует, что $KL \parallel MN$ и $KL = MN$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Значит, $KLMN$ — это параллелограмм (согласно теореме Вариньона, это верно для любого выпуклого четырехугольника).

2. Уточнение вида параллелограмма

Теперь рассмотрим две другие стороны параллелограмма $KLMN$.

• В треугольнике $BCD$ отрезок $LM$ является средней линией. Следовательно, $LM \parallel BD$ и $LM = \frac{1}{2}BD$.
• В треугольнике $ABD$ отрезок $KN$ является средней линией. Следовательно, $KN \parallel BD$ и $KN = \frac{1}{2}BD$.

Мы выяснили, что длины сторон параллелограмма $KLMN$ равны половинам длин диагоналей исходной трапеции: $KL = MN = \frac{1}{2}AC$ и $LM = KN = \frac{1}{2}BD$.

Как было упомянуто ранее, в равнобедренной трапеции диагонали равны: $AC = BD$.

Следовательно, все стороны четырехугольника $KLMN$ равны между собой:

$KL = LM = MN = NK = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. Таким образом, четырехугольник $KLMN$ является ромбом.

3. Почему не прямоугольник или квадрат?

Чтобы ромб $KLMN$ был прямоугольником (а следовательно, и квадратом), его углы должны быть прямыми. Это произойдет, если его смежные стороны будут перпендикулярны, например, $KL \perp LM$. Поскольку $KL \parallel AC$ и $LM \parallel BD$, это условие эквивалентно перпендикулярности диагоналей трапеции $AC \perp BD$. В общем случае диагонали равнобедренной трапеции не перпендикулярны. Это свойственно только отдельным видам равнобедренных трапеций, но не всем. Поэтому в общем случае полученная фигура — это ромб, но не обязательно квадрат или прямоугольник.

Ответ: С. Ромб.