Номер 2, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Найдите тангенс и котангенс угла: а) А; б) В, изображенного на рисунке 13.6.

а)

б)

Рис. 13.6

а)

Для нахождения тангенса и котангенса угла A воспользуемся методом, основанным на свойствах углов на координатной плоскости. Введем систему координат так, чтобы узел сетки в левом нижнем углу имел координаты (0, 0). Тогда вершины треугольника будут иметь следующие координаты: A(0, 1), B(3, 5), C(5, 2). Длина стороны одной клетки сетки равна 1.

Угол A треугольника ABC (∠BAC) можно представить как разность двух углов, которые стороны AB и AC образуют с горизонтальной осью, проходящей через точку A. Проведем через точку A прямую, параллельную оси абсцисс.

Пусть $ \alpha $ — угол между лучом AC и этой горизонтальной прямой. Построим прямоугольный треугольник, опуская перпендикуляр из точки C на эту прямую. Катеты этого треугольника будут равны разности координат: противолежащий катет равен $ 5 - 1 = 4 $ (ошибка, должно быть $y_C - y_A = 2 - 1 = 1$), а прилежащий катет равен $ 5 - 0 = 5 $. Таким образом, тангенс угла $ \alpha $ равен:

$ \tan(\alpha) = \frac{2 - 1}{5 - 0} = \frac{1}{5} $

Пусть $ \beta $ — угол между лучом AB и той же горизонтальной прямой. Построим прямоугольный треугольник, опуская перпендикуляр из точки B. Противолежащий катет этого треугольника равен $ 5 - 1 = 4 $, а прилежащий катет равен $ 3 - 0 = 3 $. Тангенс угла $ \beta $ равен:

$ \tan(\beta) = \frac{5 - 1}{3 - 0} = \frac{4}{3} $

Угол A равен разности углов $ \beta $ и $ \alpha $, то есть $ A = \beta - \alpha $. Воспользуемся формулой тангенса разности:

$ \tan(A) = \tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan(\beta) - \tan(\alpha)}{1 + \tan(\beta)\tan(\alpha)} $

Подставим найденные значения:

$ \tan(A) = \frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{5}}{1 + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{5}} = \frac{\frac{20 - 3}{15}}{1 + \frac{4}{15}} = \frac{\frac{17}{15}}{\frac{15 + 4}{15}} = \frac{\frac{17}{15}}{\frac{19}{15}} = \frac{17}{19} $

Котангенс угла A является обратной величиной к тангенсу:

$ \cot(A) = \frac{1}{\tan(A)} = \frac{1}{\frac{17}{19}} = \frac{19}{17} $

Ответ: $ \tan(A) = \frac{17}{19} $, $ \cot(A) = \frac{19}{17} $.

б)

Для нахождения тангенса и котангенса угла B воспользуемся теоремой косинусов. Введем систему координат с началом в левом нижнем узле сетки (0, 0). Координаты вершин треугольника: A(0, 0), B(3, 5), C(2, 6).

Найдем квадраты длин сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками $ d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 $:

$ AB^2 = (3-0)^2 + (5-0)^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34 $

$ BC^2 = (2-3)^2 + (6-5)^2 = (-1)^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2 $

$ AC^2 = (2-0)^2 + (6-0)^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40 $

По теореме косинусов для угла B в треугольнике ABC имеем:

$ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(B) $

Подставим найденные значения квадратов длин сторон:

$ 40 = 34 + 2 - 2 \cdot \sqrt{34} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(B) $

$ 40 = 36 - 2 \sqrt{68} \cdot \cos(B) $

$ 4 = -2 \sqrt{4 \cdot 17} \cdot \cos(B) $

$ 4 = -2 \cdot 2 \sqrt{17} \cdot \cos(B) $

$ 4 = -4 \sqrt{17} \cdot \cos(B) $

Отсюда находим косинус угла B:

$ \cos(B) = -\frac{4}{4\sqrt{17}} = -\frac{1}{\sqrt{17}} $

Так как косинус отрицательный, угол B является тупым. Теперь найдем синус угла B, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(B) + \cos^2(B) = 1 $. Для углов треугольника (от 0° до 180°) синус всегда положителен.

$ \sin^2(B) = 1 - \cos^2(B) = 1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{17}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{17} = \frac{16}{17} $

$ \sin(B) = \sqrt{\frac{16}{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}} $

Теперь можем найти тангенс и котангенс угла B:

$ \tan(B) = \frac{\sin(B)}{\cos(B)} = \frac{\frac{4}{\sqrt{17}}}{-\frac{1}{\sqrt{17}}} = -4 $

$ \cot(B) = \frac{\cos(B)}{\sin(B)} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{17}}}{\frac{4}{\sqrt{17}}} = -\frac{1}{4} $

Ответ: $ \tan(B) = -4 $, $ \cot(B) = -\frac{1}{4} $.