Номер 9, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В каких пределах могут изменяться:

а) тангенс;

б) котангенс острого угла?

а) тангенс

Острый угол $\alpha$ — это угол, который удовлетворяет неравенству $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета. Поскольку длины катетов являются положительными величинами, их отношение также всегда будет положительным. Следовательно, тангенс острого угла всегда больше нуля: $\tan(\alpha) > 0$.

Чтобы определить точные пределы, рассмотрим поведение тангенса на границах этого интервала. Используем определение тангенса через синус и косинус: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

Когда угол $\alpha$ стремится к $0^\circ$ (оставаясь положительным), значение $\sin(\alpha)$ стремится к $0$, а $\cos(\alpha)$ стремится к $1$. В этом пределе значение тангенса стремится к $\frac{0}{1} = 0$.

Когда угол $\alpha$ стремится к $90^\circ$ (оставаясь меньше $90^\circ$), значение $\sin(\alpha)$ стремится к $1$, а $\cos(\alpha)$ стремится к $0$ (оставаясь положительным). В этом пределе значение тангенса неограниченно возрастает и стремится к $+\infty$.

Поскольку функция тангенса непрерывна и монотонно возрастает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, она принимает все возможные значения между $0$ и $+\infty$. Таким образом, тангенс острого угла может быть любым положительным числом.

Ответ: тангенс острого угла может изменяться в пределах от $0$ до $+\infty$, не включая эти значения. Математически это записывается как $\tan(\alpha) \in (0, +\infty)$.

б) котангенс

Для острого угла $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), котангенс в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего. Это отношение всегда положительно, так как длины сторон — положительные числа. Следовательно, котангенс острого угла всегда больше нуля: $\cot(\alpha) > 0$.

Рассмотрим поведение котангенса, используя его определение через косинус и синус: $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

Когда угол $\alpha$ стремится к $0^\circ$ (оставаясь положительным), значение $\cos(\alpha)$ стремится к $1$, а $\sin(\alpha)$ стремится к $0$ (оставаясь положительным). В этом пределе значение котангенса неограниченно возрастает и стремится к $+\infty$.

Когда угол $\alpha$ стремится к $90^\circ$ (оставаясь меньше $90^\circ$), значение $\cos(\alpha)$ стремится к $0$, а $\sin(\alpha)$ стремится к $1$. В этом пределе значение котангенса стремится к $\frac{0}{1} = 0$.

Поскольку функция котангенса непрерывна и монотонно убывает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, она принимает все возможные значения между $+\infty$ и $0$. Таким образом, котангенс острого угла, так же как и тангенс, может быть любым положительным числом.

Ответ: котангенс острого угла может изменяться в пределах от $0$ до $+\infty$, не включая эти значения. Математически это записывается как $\cot(\alpha) \in (0, +\infty)$.