Номер 12, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Существует ли угол, для которого синус равен тангенсу?

Да, такой угол существует. Чтобы это доказать, составим и решим соответствующее тригонометрическое уравнение.

Пусть искомый угол будет $\alpha$. Согласно условию задачи, его синус должен быть равен его тангенсу:

$\sin(\alpha) = \tan(\alpha)$

Вспомним определение тангенса: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. Это равенство справедливо для всех углов, у которых косинус не равен нулю, то есть $\cos(\alpha) \neq 0$. Углы, для которых $\cos(\alpha) = 0$, имеют вид $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n$ (или $90^\circ + 180^\circ n$), где $n$ – любое целое число. Для этих углов тангенс не определен.

Подставим определение тангенса в исходное уравнение:

$\sin(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\sin(\alpha) - \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 0$

Вынесем общий множитель $\sin(\alpha)$ за скобки:

$\sin(\alpha) \left(1 - \frac{1}{\cos(\alpha)}\right) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два возможных случая.

1. Первый множитель равен нулю: $\sin(\alpha) = 0$.
Это уравнение имеет решения $\alpha = \pi k$ (или $180^\circ k$), где $k$ – любое целое число. Для этих углов косинус равен $\cos(\pi k) = (-1)^k$, то есть он равен либо $1$, либо $-1$. В любом случае он не равен нулю, значит, тангенс для этих углов существует. Если $\sin(\alpha) = 0$, то $\tan(\alpha) = \frac{0}{\cos(\alpha)} = 0$. Таким образом, равенство $0=0$ выполняется, и все углы вида $\pi k$ являются решениями.

2. Второй множитель равен нулю: $1 - \frac{1}{\cos(\alpha)} = 0$.
Это уравнение можно преобразовать к виду $\frac{1}{\cos(\alpha)} = 1$, откуда следует, что $\cos(\alpha) = 1$. Решениями этого уравнения являются углы $\alpha = 2\pi k$ (или $360^\circ k$), где $k$ – любое целое число. Заметим, что эти углы являются подмножеством решений из первого случая (когда $k$ – четное число). Для этих углов $\sin(\alpha) = 0$, и мы снова получаем верное равенство $0=0$.

Таким образом, мы доказали, что существует бесконечное множество углов, для которых синус равен тангенсу. Например, для угла $0^\circ$: $\sin(0^\circ) = 0$ и $\tan(0^\circ) = 0$. Или для угла $180^\circ$: $\sin(180^\circ) = 0$ и $\tan(180^\circ) = 0$.

Ответ: Да, существует. Этому условию удовлетворяет любой угол вида $\alpha = \pi k$ (или $180^\circ \cdot k$), где $k$ – любое целое число.