Номер 8, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В каких пределах могут изменяться:

а) синус;

б) косинус острого угла?

а) синус
Острым углом называется угол $\alpha$, который удовлетворяет неравенству $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Для определения пределов изменения синуса острого угла рассмотрим прямоугольный треугольник. Синус острого угла $\alpha$ в нем определяется как отношение длины противолежащего катета ($a$) к длине гипотенузы ($c$):
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$
Поскольку длины сторон треугольника всегда положительны, $a > 0$ и $c > 0$. Следовательно, их отношение, синус, также будет положительным: $\sin(\alpha) > 0$.
В прямоугольном треугольнике любой катет всегда короче гипотенузы, то есть $a < c$. Если разделить обе части этого неравенства на положительное число $c$, получим $\frac{a}{c} < 1$, или $\sin(\alpha) < 1$.
Объединяя эти два условия, получаем, что синус острого угла заключен в пределах от 0 до 1. При этом, поскольку острый угол строго больше $0^\circ$ и строго меньше $90^\circ$, значения синуса не достигают граничных значений 0 и 1. Значение $\sin(\alpha)$ стремится к 0, когда $\alpha$ стремится к $0^\circ$, и стремится к 1, когда $\alpha$ стремится к $90^\circ$.
Таким образом, синус острого угла может принимать любое значение из интервала (0, 1).
Ответ: синус острого угла может изменяться в пределах от 0 до 1, не включая эти значения, то есть $0 < \sin(\alpha) < 1$.

б) косинус
Аналогично рассмотрим косинус острого угла $\alpha$. В прямоугольном треугольнике он определяется как отношение длины прилежащего катета ($b$) к длине гипотенузы ($c$):
$\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$
Длины сторон $b$ и $c$ положительны, поэтому $\cos(\alpha) > 0$.
Прилежащий катет также всегда короче гипотенузы, то есть $b < c$. Разделив это неравенство на $c$, получим $\frac{b}{c} < 1$, или $\cos(\alpha) < 1$.
Таким образом, косинус острого угла также заключен в пределах от 0 до 1. Граничные значения не достигаются, так как угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Значение $\cos(\alpha)$ стремится к 1, когда $\alpha$ стремится к $0^\circ$, и стремится к 0, когда $\alpha$ стремится к $90^\circ$.
Следовательно, косинус острого угла может принимать любое значение из интервала (0, 1).
Ответ: косинус острого угла может изменяться в пределах от 0 до 1, не включая эти значения, то есть $0 < \cos(\alpha) < 1$.