Номер 5, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Может ли:

а) синус;

б) косинус угла быть больше 1?

а) синус

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим определение синуса угла. В прямоугольном треугольнике синус острого угла $\alpha$ определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной, то есть ее длина всегда больше длины любого из катетов. Следовательно, отношение длины катета к длине гипотенузы всегда будет числом, меньшим или равным 1. Равенство 1 достигается только в вырожденном случае, когда угол равен $90^\circ$, и противолежащий катет совпадает с гипотенузой.

Другой способ рассуждения — через единичную окружность. Синус угла — это ордината (координата $y$) точки на единичной окружности, соответствующей этому углу. Поскольку радиус окружности равен 1, значения ординат всех ее точек лежат в диапазоне от -1 до 1. Таким образом, максимальное значение, которое может принимать синус, равно 1.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ следует, что $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$. Так как $\cos^2(\alpha) \ge 0$, то $\sin^2(\alpha) \le 1$. Это означает, что $-1 \le \sin(\alpha) \le 1$. Следовательно, синус угла не может быть больше 1.

Ответ: нет, синус угла не может быть больше 1. Его значения лежат в пределах от -1 до 1 включительно.

б) косинус

Рассмотрим определение косинуса угла. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла $\alpha$ — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

Как и в случае с синусом, гипотенуза всегда длиннее катета. Поэтому отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы всегда будет меньше или равно 1. Равенство 1 достигается, когда угол равен $0^\circ$, и прилежащий катет совпадает с гипотенузой.

Если использовать единичную окружность, то косинус угла — это абсцисса (координата $x$) точки на этой окружности. Так как радиус окружности равен 1, значения абсцисс всех ее точек лежат в диапазоне от -1 до 1. Следовательно, максимальное значение косинуса равно 1.

Аналогично синусу, из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ следует, что $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$. Так как $\sin^2(\alpha) \ge 0$, то $\cos^2(\alpha) \le 1$. Это означает, что $-1 \le \cos(\alpha) \le 1$. Таким образом, косинус угла не может быть больше 1.

Ответ: нет, косинус угла не может быть больше 1. Его значения также лежат в пределах от -1 до 1 включительно.