Номер 7, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. На клетчатой бумаге изобразите угол, котангенс которого равен:

а) $0,75$;

б) $1,25$.

Для того чтобы изобразить угол по известному значению его котангенса на клетчатой бумаге, мы используем прямоугольный треугольник. Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего катета. Формула выглядит так: $ctg(\alpha) = \frac{прилежащий \ катет}{противолежащий \ катет}$. Мы можем использовать стороны клеток в качестве единиц измерения для построения катетов.

а)

Необходимо изобразить угол $\alpha$, котангенс которого равен 0,75.
1. Сначала представим десятичную дробь 0,75 в виде обыкновенной дроби. Это поможет нам определить длины катетов. $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{3}{4}$.
2. Таким образом, мы имеем $ctg(\alpha) = \frac{3}{4}$. Это означает, что для искомого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике отношение прилежащего катета к противолежащему катету равно 3 к 4.
3. Теперь построим этот треугольник на клетчатой бумаге. Выберем длины катетов, равные 3 и 4 клеткам.
- Отметим точку A, которая будет вершиной искомого угла.
- От точки A вправо по линиям сетки отложим 3 клетки и поставим точку C. Отрезок AC — это прилежащий катет.
- От точки C вверх по линиям сетки отложим 4 клетки и поставим точку B. Отрезок CB — это противолежащий катет. Угол при вершине C будет прямым.
- Соединим точки A и B, чтобы получить гипотенузу AB.
Полученный угол $\angle BAC$ и есть искомый угол $\alpha$, так как его котангенс равен отношению прилежащего катета AC к противолежащему катету CB: $ctg(\alpha) = \frac{AC}{CB} = \frac{3}{4} = 0,75$.
Ответ: Искомый угол — это острый угол прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 клетки, который прилежит к катету длиной 3 клетки.

б)

Необходимо изобразить угол $\beta$, котангенс которого равен 1,25.
1. Представим десятичную дробь 1,25 в виде обыкновенной дроби. $1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5 \times 25}{4 \times 25} = \frac{5}{4}$.
2. Таким образом, мы имеем $ctg(\beta) = \frac{5}{4}$. Это означает, что для искомого угла $\beta$ в прямоугольном треугольнике отношение прилежащего катета к противолежащему катету равно 5 к 4.
3. Построим соответствующий треугольник на клетчатой бумаге, выбрав длины катетов равными 5 и 4 клеткам.
- Отметим точку D, которая будет вершиной искомого угла.
- От точки D вправо по линиям сетки отложим 5 клеток и поставим точку F. Отрезок DF — это прилежащий катет.
- От точки F вверх по линиям сетки отложим 4 клетки и поставим точку E. Отрезок FE — это противолежащий катет. Угол при вершине F будет прямым.
- Соединим точки D и E, чтобы получить гипотенузу DE.
Полученный угол $\angle EDF$ и есть искомый угол $\beta$, так как его котангенс равен отношению прилежащего катета DF к противолежащему катету FE: $ctg(\beta) = \frac{DF}{FE} = \frac{5}{4} = 1,25$.
Ответ: Искомый угол — это острый угол прямоугольного треугольника с катетами 5 и 4 клетки, который прилежит к катету длиной 5 клеток.