Номер 13, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Для каких углов тангенс равен котангенсу?

Чтобы найти углы, для которых тангенс равен котангенсу, необходимо решить тригонометрическое уравнение:

$tg(x) = ctg(x)$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения. Функция $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$ определена, когда $cos(x) \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Функция $ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$ определена, когда $sin(x) \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Таким образом, уравнение имеет смысл при $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого числа $k$.

Решить данное уравнение можно несколькими способами.

Способ 1: через тангенс

Воспользуемся тождеством $ctg(x) = \frac{1}{tg(x)}$. Подставим его в исходное уравнение:

$tg(x) = \frac{1}{tg(x)}$

Домножим обе части уравнения на $tg(x)$. Это корректное преобразование, так как в области допустимых значений $tg(x) \neq 0$ (иначе $ctg(x)$ не был бы определен).

$tg^2(x) = 1$

Это уравнение распадается на два простейших:

1. $tg(x) = 1$. Решением является серия углов $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $tg(x) = -1$. Решением является серия углов $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ (что то же самое, что и $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$.

Эти два семейства решений можно объединить в одно. Если отметить эти точки на тригонометрической окружности, они будут соответствовать серединам каждой из четырех координатных четвертей. Угловое расстояние между соседними точками составляет $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, общее решение можно записать одной формулой: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Способ 2: через синус и косинус

Запишем тангенс и котангенс через их определения:

$\frac{sin(x)}{cos(x)} = \frac{cos(x)}{sin(x)}$

Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$sin^2(x) = cos^2(x)$

Перенесем все в одну сторону: $cos^2(x) - sin^2(x) = 0$.

Выражение слева является формулой косинуса двойного угла: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$.

Получаем уравнение:

$cos(2x) = 0$

Решением этого уравнения является $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 2, находим $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. В градусной мере это соответствует углам $45^\circ + 90^\circ \cdot n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.