Номер 17, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Найдите тангенс и котангенс угла: а) А; б) В, изображенного на рисунке 13.7.

а)

б)

Рис. 13.7

а) Для того чтобы найти тангенс и котангенс угла A, рассмотрим прямоугольный треугольник, который можно построить на сетке. Угол A является одним из острых углов этого треугольника. Одна из сторон угла A горизонтальна. Мы можем выбрать на другой (наклонной) стороне угла точку, которая находится на пересечении линий сетки, и опустить из нее перпендикуляр на горизонтальную сторону. В результате мы получим прямоугольный треугольник. Длина катета, противолежащего углу A, равна 3 единицам (клеткам), а длина катета, прилежащего к углу A, равна 4 единицам. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета. $ \tan(A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{3}{4} $. Котангенс — это обратная величина к тангенсу, то есть отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего. $ \cot(A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{4}{3} $.
Ответ: $ \tan(A) = \frac{3}{4} $, $ \cot(A) = \frac{4}{3} $.

б) Угол B образован двумя лучами, и его нельзя напрямую вписать в прямоугольный треугольник, стороны которого параллельны линиям сетки. Однако мы можем представить угол B как разность двух углов. Проведем из вершины B горизонтальный луч вправо. Пусть $ \alpha_1 $ — угол между этим горизонтальным лучом и верхней стороной угла B, а $ \alpha_2 $ — угол между горизонтальным лучом и нижней стороной угла B. Тогда искомый угол $ B = \alpha_1 - \alpha_2 $. Теперь найдем тангенсы углов $ \alpha_1 $ и $ \alpha_2 $, используя прямоугольные треугольники, построенные на сетке. Для угла $ \alpha_1 $: противолежащий катет равен 4 клеткам, прилежащий катет — 1 клетке. $ \tan(\alpha_1) = \frac{4}{1} = 4 $. Для угла $ \alpha_2 $: противолежащий катет равен 2 клеткам, прилежащий катет — 4 клеткам. $ \tan(\alpha_2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $. Воспользуемся формулой тангенса разности углов: $ \tan(B) = \tan(\alpha_1 - \alpha_2) = \frac{\tan(\alpha_1) - \tan(\alpha_2)}{1 + \tan(\alpha_1) \tan(\alpha_2)} $. Подставим наши значения: $ \tan(B) = \frac{4 - \frac{1}{2}}{1 + 4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{8-1}{2}}{1 + 2} = \frac{\frac{7}{2}}{3} = \frac{7}{6} $. Котангенс угла B равен: $ \cot(B) = \frac{1}{\tan(B)} = \frac{1}{\frac{7}{6}} = \frac{6}{7} $.
Ответ: $ \tan(B) = \frac{7}{6} $, $ \cot(B) = \frac{6}{7} $.