Номер 24, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Найдите неизвестные углы в прямоугольнике $ABCD$ (рис. 13.10, а) и в трапеции $KLMN$, у которой $KM \perp MN$, $KM : KN = \sqrt{3} : 2$ (рис. 13.10, б).

а)

б)

Рис. 13.10

а) Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, все его углы прямые ($\angle A = \angle C = 90^\circ$), а противоположные стороны равны ($CD = AB$, $BC = AD$). Из условия задачи известно, что $AB = \sqrt{3}$ и $MD = 2$. Одинаковые штрихи на отрезках $BM$ и $MD$ указывают на их равенство, следовательно, $BM = MD = 2$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABM$. Он является прямоугольным, так как угол $\angle A = 90^\circ$. Применим теорему Пифагора $AB^2 + AM^2 = BM^2$. Подставим известные значения: $(\sqrt{3})^2 + AM^2 = 2^2$ $3 + AM^2 = 4$ $AM^2 = 1$, откуда $AM = 1$. Теперь мы можем найти длину стороны $AD$: $AD = AM + MD = 1 + 2 = 3$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $BC = AD = 3$ и $CD = AB = \sqrt{3}$. Искомый угол $\angle CDB$ находится в прямоугольном треугольнике $\triangle BCD$ (с прямым углом $\angle C = 90^\circ$). Найдем тангенс угла $\angle CDB$, который равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $CD$: $\tan(\angle CDB) = \frac{BC}{CD} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$. Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$.

Ответ: $\angle CDB = 60^\circ$.

б) Дана трапеция $KLMN$, в которой, судя по рисунку, основаниями являются $LM$ и $KN$ ($LM \parallel KN$). По условию, диагональ $KM$ перпендикулярна боковой стороне $MN$, что означает $\angle KMN = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $\triangle KMN$ является прямоугольным. В этом прямоугольном треугольнике косинус угла $\angle MKN$ равен отношению прилежащего катета $KM$ к гипотенузе $KN$. Из условия $KM : KN = \sqrt{3} : 2$ следует: $\cos(\angle MKN) = \frac{KM}{KN} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $30^\circ$. Значит, $\angle MKN = 30^\circ$. Также по условию $KM$ является биссектрисой угла $\angle LKN$, что означает, что она делит этот угол пополам: $\angle LKM = \angle MKN = 30^\circ$. Следовательно, полный угол $\angle LKN$ равен сумме его частей: $\angle LKN = \angle LKM + \angle MKN = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$. В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Для боковой стороны $KL$ и параллельных оснований $LM$ и $KN$ имеем: $\angle KLM + \angle LKN = 180^\circ$. Отсюда можем найти второй неизвестный угол $\angle KLM$: $\angle KLM = 180^\circ - \angle LKN = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $\angle LKN = 60^\circ$, $\angle KLM = 120^\circ$.