Номер 27, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

27. Находясь на некотором расстоянии от дерева, человек видит его верхушку под углом $\alpha$ (рис. 13.13). Как определить высоту дерева?

Рис. 13.13

Чтобы определить высоту дерева, необходимо использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Для этого потребуется провести несколько измерений и выполнить расчеты.

Шаг 1: Необходимые измерения
Нужно измерить три физические величины:
1. Расстояние от наблюдателя до дерева по горизонтали. Обозначим это расстояние как $d$. Его можно измерить рулеткой или шагами, зная длину своего шага.
2. Высоту от земли до уровня глаз наблюдателя. Обозначим эту высоту как $h$. Её можно измерить с помощью рулетки.
3. Угол $α$ между горизонталью на уровне глаз и направлением на верхушку дерева (угол возвышения). Этот угол можно измерить с помощью специального прибора, например, клинометра, или самодельного угломера с транспортиром и отвесом.

Шаг 2: Расчет высоты
Высота дерева $H$ состоит из двух частей: высоты до уровня глаз наблюдателя $h$ и высоты дерева над этой горизонталью, которую мы обозначим как $H_1$.
Таким образом, $H = h + H_1$.
Часть высоты $H_1$ является катетом прямоугольного треугольника, в котором второй катет — это расстояние $d$, а угол, противолежащий катету $H_1$, — это угол $α$.
Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике мы знаем, что тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(\alpha) = \frac{H_1}{d}$
Выразим из этой формулы $H_1$:
$H_1 = d \cdot \tan(\alpha)$
Теперь подставим это выражение в формулу для полной высоты дерева:
$H = h + d \cdot \tan(\alpha)$
Это и есть итоговая формула для расчета высоты дерева.

Ответ: Чтобы определить высоту дерева $H$, нужно измерить свой рост до уровня глаз $h$, расстояние до дерева $d$ и угол $α$, под которым видна верхушка дерева от горизонтали. Высота вычисляется по формуле: $H = h + d \cdot \tan(\alpha)$.