Номер 34, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

34. Архитектурное сооружение “Астана — Байтерек” считается символом обновления, символом Астаны, символом Казахстана. Оно представляет собой высокую металлическую конструкцию с огромным позолоченным стеклянным шаром на вершине (рис. 13.14). Высота сооружения составляет 97 м, а с шаром, венчающим конструкцию — 105 м. Человек, находясь на некотором расстоянии от Байтерека, видит его верхушку и людей в панорамном зале. Как можно вычислить углы $B$, $D$? Какие измерения при этом надо выполнить?

Рис. 13.14

Какие измерения при этом надо выполнить?
Для того чтобы вычислить углы, указанные на схеме, необходимо произвести одно измерение. Наблюдатель находится в точке C, а монумент представляет собой вертикальный отрезок AB. Треугольники ABC и ADC являются прямоугольными. Чтобы решить задачу с помощью тригонометрии, помимо известных высот (катетов AD и AB), нужно знать еще один элемент в этих треугольниках. Самым простым для измерения в данной ситуации является расстояние от наблюдателя до основания сооружения.

Ответ: Необходимо измерить расстояние от точки наблюдения C до основания монумента A, то есть найти длину катета AC.

Как можно вычислить углы B, D?
Для решения задачи воспользуемся данными из условия и результатами измерений.
Дано:
Высота до панорамного зала: $AD = 97$ м.
Полная высота сооружения: $AB = 105$ м.
Измеренное расстояние:
Расстояние от наблюдателя до основания: $AC = x$ м.

На схеме показаны два прямоугольных треугольника ($△ADC$ и $△ABC$) и один произвольный треугольник ($△BDC$). Углы, которые нужно найти (обозначенные как B и D), — это углы $∠CBD$ и $∠BDC$ соответственно.

Алгоритм вычисления:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $△ABC$.
В этом треугольнике нам известны два катета: $AB = 105$ м и $AC = x$ м. Мы можем найти угол $∠ACB$ через тангенс:
$tan(∠ACB) = \frac{AB}{AC} = \frac{105}{x}$
Следовательно, $∠ACB = \arctan(\frac{105}{x})$.
Угол B (то есть $∠ABC$ или $∠CBD$) является вторым острым углом в этом прямоугольном треугольнике. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому:
$∠B = 90° - ∠ACB = 90° - \arctan(\frac{105}{x})$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $△ADC$.
В этом треугольнике нам также известны два катета: $AD = 97$ м и $AC = x$ м. Найдем угол $∠ACD$:
$tan(∠ACD) = \frac{AD}{AC} = \frac{97}{x}$
Следовательно, $∠ACD = \arctan(\frac{97}{x})$.
Теперь найдем угол $∠ADC$. Это второй острый угол в треугольнике $△ADC$:
$∠ADC = 90° - ∠ACD$.
Угол D (то есть $∠BDC$) и угол $∠ADC$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол (180°) вдоль вертикальной прямой AB. Значит:
$∠D = 180° - ∠ADC = 180° - (90° - ∠ACD) = 90° + ∠ACD$.
Подставив выражение для $∠ACD$, получаем:
$∠D = 90° + \arctan(\frac{97}{x})$

Таким образом, зная расстояние $x$, мы можем вычислить оба искомых угла.

Ответ: Сначала нужно измерить расстояние $AC = x$. Затем углы B и D вычисляются по формулам: $∠B = 90° - \arctan(\frac{105}{x})$ и $∠D = 90° + \arctan(\frac{97}{x})$.