Номер 36, страница 63 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

36. Международный комплекс лыжных трамплинов Сункар в Алматы является одним из пяти лучших в мире (рис. 13.16). Это комбинированный трамплин, на котором можно прыгать как в зимнее время на снегу, так и на искусственном покрытии. Наблюдатель, находящийся в пункте A (рис. 13.17), видит конец шеста C и верхнюю точку D трамплина, расположенные на одной прямой. Какова высота трамплина, если $AE = 80 \text{ м}$, $AB = 6 \text{ м}$ и $BC = 3 \text{ м}$?

Рис. 13.16

Рис. 13.17

Для решения данной задачи воспользуемся свойством подобных треугольников. На рисунке 13.17 мы видим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADE$.

Согласно условию, шест $BC$ и опора трамплина $DE$ перпендикулярны земле. Это означает, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADE$ являются прямоугольными, то есть $\angle ABC = 90^\circ$ и $\angle AED = 90^\circ$.

Точки $A$ (наблюдатель), $C$ (вершина шеста) и $D$ (вершина трамплина) лежат на одной прямой. Следовательно, угол $\angle CAB$ и угол $\angle DAE$ — это один и тот же угол. Таким образом, $\angle CAB = \angle DAE$.

Поскольку у треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADE$ есть два равных угла (общий острый угол при вершине $A$ и прямые углы при вершинах $B$ и $E$), они подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Запишем это как $\triangle ABC \sim \triangle ADE$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Составим пропорцию для катетов:

$\frac{BC}{DE} = \frac{AB}{AE}$

Нам нужно найти высоту трамплина $DE$. Выразим $DE$ из этой пропорции:

$DE = \frac{BC \cdot AE}{AB}$

Подставим известные значения из условия задачи:

$AB = 6$ м

$BC = 3$ м

$AE = 80$ м

Произведем вычисления:

$DE = \frac{3 \text{ м} \cdot 80 \text{ м}}{6 \text{ м}} = \frac{240 \text{ м}^2}{6 \text{ м}} = 40 \text{ м}$

Таким образом, высота трамплина составляет 40 метров.

Ответ: 40 м.