Номер 31, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

31. Определите расстояние от Земли до Луны, если радиус Луны равен 1680 км и виден с Земли под углом $\alpha = 15'$.

Для определения расстояния от Земли до Луны ($L$) воспользуемся геометрическим подходом. Мы можем представить прямоугольный треугольник, вершинами которого являются наблюдатель на Земле, центр Луны и точка на краю видимого диска Луны. В таком треугольнике радиус Луны ($R_Л$) будет катетом, противолежащим углу $\alpha$, а искомое расстояние до Луны ($L$) — прилежащим катетом. Угол $\alpha$ — это угловой радиус Луны, под которым он виден с Земли.

Связь между этими величинами описывается тригонометрической функцией тангенса:

$ \tan(\alpha) = \frac{R_Л}{L} $

Отсюда можно выразить расстояние $L$:

$ L = \frac{R_Л}{\tan(\alpha)} $

Поскольку угол $\alpha$ очень мал, можно использовать приближение для малых углов, согласно которому тангенс угла примерно равен самому углу, выраженному в радианах ($ \tan(\alpha) \approx \alpha_{рад} $). Это значительно упрощает расчеты.

$ L \approx \frac{R_Л}{\alpha_{рад}} $

Сначала переведем заданный угол $\alpha = 15'$ из угловых минут в радианы. В одном градусе содержится 60 угловых минут, а в $\pi$ радианах — 180 градусов.

$ \alpha = 15' = \frac{15}{60}^\circ = 0.25^\circ $

Теперь переведем градусы в радианы:

$ \alpha_{рад} = 0.25^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{720} \text{ рад} $

Теперь подставим известные значения ($R_Л = 1680$ км и $\alpha_{рад} = \frac{\pi}{720}$ рад) в нашу формулу:

$ L \approx \frac{1680 \text{ км}}{\frac{\pi}{720}} = \frac{1680 \cdot 720}{\pi} \text{ км} $

Выполним вычисление, используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:

$ L \approx \frac{1209600}{3.14159} \approx 385002.5 \text{ км} $

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем приблизительное расстояние от Земли до Луны.

Ответ: $385000$ км.