Номер 32, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

32. Под дождем, капли которого падают вертикально со скоростью $7 \text{ м/с}$, едет автобус. Пассажирам этого автобуса кажется, что идет косой дождь. Под каким углом к поверхности земли им кажется падают капли, если скорость автобуса составляет $35 \text{ км/ч}$?

Для решения этой задачи воспользуемся принципом относительности движения. Скорость капель дождя, которую наблюдают пассажиры, является векторной разностью скорости капель относительно земли и скорости автобуса относительно земли. Введем обозначения: $\vec{v}_к$ — это скорость капель относительно земли (направлена вертикально вниз, модуль $v_к = 7 \text{ м/с}$), а $\vec{v}_а$ — это скорость автобуса относительно земли (направлена горизонтально, модуль $v_а = 35 \text{ км/ч}$).

В первую очередь необходимо привести скорости к единой системе измерений, в данном случае — к метрам в секунду (м/с). Переведем скорость автобуса из км/ч в м/с.
$v_а = 35 \text{ км/ч} = 35 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{350}{36} \text{ м/с} = \frac{175}{18} \text{ м/с}$.
Для удобства расчетов можно представить это значение в виде десятичной дроби: $v_а \approx 9,72 \text{ м/с}$.

Скорость капель относительно автобуса ($\vec{v}_{отн}$) находится по формуле векторного вычитания:
$\vec{v}_{отн} = \vec{v}_к - \vec{v}_а = \vec{v}_к + (-\vec{v}_а)$.
Это означает, что для определения направления и величины относительной скорости нужно к вектору скорости капель $\vec{v}_к$ (вертикально вниз) прибавить вектор $-\vec{v}_а$, который равен по модулю вектору скорости автобуса, но направлен в противоположную сторону (горизонтально, против движения автобуса).

Векторы $\vec{v}_к$ и $-\vec{v}_а$ взаимно перпендикулярны. Их векторная сумма $\vec{v}_{отн}$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, где катетами служат векторы $\vec{v}_к$ и $-\vec{v}_а$. Угол $\alpha$, под которым пассажирам кажется, что падают капли, — это угол между вектором относительной скорости $\vec{v}_{отн}$ и горизонталью (поверхностью земли). Этот угол можно найти из тригонометрических соотношений в данном треугольнике скоростей.

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета (модуль вертикальной скорости $v_к$) к прилежащему катету (модуль горизонтальной скорости $v_а$):
$\tan(\alpha) = \frac{v_к}{v_а}$.

Подставим числовые значения в полученную формулу:
$\tan(\alpha) = \frac{7 \text{ м/с}}{\frac{175}{18} \text{ м/с}} = \frac{7 \cdot 18}{175}$.
Сократим дробь, зная, что $175 = 7 \cdot 25$:
$\tan(\alpha) = \frac{7 \cdot 18}{7 \cdot 25} = \frac{18}{25} = 0,72$.

Теперь найдем сам угол $\alpha$, вычислив арктангенс полученного значения:
$\alpha = \arctan(0,72) \approx 35,75^\circ$.
Округлив значение, получаем, что угол составляет примерно $36^\circ$.
Ответ: пассажирам кажется, что капли падают под углом примерно $36^\circ$ к поверхности земли.