Вопросы, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 14. Теорема Пифагора. Глава 2. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - страница 66.

Условие.

1. Сформулируйте теорему Пифагора.

2. Когда жил Пифагор?

3. Какие тройки целых чисел называются пифагорейскими?

4. Назовите значения тригонометрических функций угла $30^\circ$.

5. Назовите значения тригонометрических функций угла $45^\circ$.

6. Как выражается радиус описанной окружности через основание равнобедренного треугольника и высоту, опущенную на это основание?

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Сформулируйте теорему Пифагора. Теорема Пифагора — это одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, которая устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Формулировка теоремы: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (стороны, лежащей напротив прямого угла) равен сумме квадратов длин катетов (сторон, прилежащих к прямому углу). Если обозначить длины катетов как $a$ и $b$, а длину гипотенузы как $c$, то теорема записывается в виде формулы: $a^2 + b^2 = c^2$. Ответ: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2. Когда жил Пифагор? Пифагор Самосский — это древнегреческий философ, математик и основатель религиозно-философской школы пифагореизма. Хотя точные даты его жизни являются предметом дискуссий среди историков, общепринято считать, что он жил в VI веке до нашей эры. Наиболее часто указываемые даты его жизни — примерно с 570 по 495 год до н.э. Ответ: Пифагор жил приблизительно в 570–495 годах до н.э.

3. Какие тройки целых чисел называются пифагорейскими? Пифагорейскими тройками называют три натуральных (целых положительных) числа $a$, $b$ и $c$, которые удовлетворяют уравнению теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Такие числа могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. Простейший и самый известный пример пифагорейской тройки — (3, 4, 5), так как $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Другими примерами являются тройки (5, 12, 13), (8, 15, 17) и (7, 24, 25). Ответ: Пифагорейские тройки — это наборы из трёх натуральных чисел $(a, b, c)$, для которых выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$.

4. Назовите значения тригонометрических функций угла 30°. Значения основных тригонометрических функций для угла $30^\circ$ (или $\frac{\pi}{6}$ радиан) являются стандартными и часто используются в геометрии и анализе. Они следующие:
Синус: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
Косинус: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Тангенс: $\tan(30^\circ) = \frac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Котангенс: $\cot(30^\circ) = \frac{\cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$
Ответ: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot(30^\circ) = \sqrt{3}$.

5. Назовите значения тригонометрических функций угла 45°. Угол $45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ радиан) соответствует равнобедренному прямоугольному треугольнику, что упрощает нахождение значений его тригонометрических функций. Значения следующие:
Синус: $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Косинус: $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Тангенс: $\tan(45^\circ) = \frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)} = 1$
Котангенс: $\cot(45^\circ) = \frac{\cos(45^\circ)}{\sin(45^\circ)} = 1$
Ответ: $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(45^\circ) = 1$, $\cot(45^\circ) = 1$.

6. Как выражается радиус описанной окружности через основание равнобедренного треугольника и высоту, опущенную на это основание? Пусть у равнобедренного треугольника основание равно $a$, высота, опущенная на это основание, равна $h$, а боковая сторона — $b$. Радиус $R$ описанной окружности для любого треугольника можно найти по формуле $R = \frac{xyz}{4S}$, где $x, y, z$ — стороны, а $S$ — площадь. Для равнобедренного треугольника стороны равны $a, b, b$, а площадь $S = \frac{1}{2}ah$. Тогда $R = \frac{a \cdot b \cdot b}{4(\frac{1}{2}ah)} = \frac{b^2}{2h}$. По теореме Пифагора для половины нашего треугольника, $b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$. Подставив это выражение в формулу для радиуса, получим зависимость только от $a$ и $h$:
$R = \frac{h^2 + (a/2)^2}{2h} = \frac{h^2 + a^2/4}{2h} = \frac{4h^2 + a^2}{8h}$.
Ответ: Радиус описанной окружности $R$ выражается через основание $a$ и высоту $h$ по формуле: $R = \frac{a^2 + 4h^2}{8h}$.