Номер 25, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Чтобы измерить недоступное расстояние между точками $A$ и $B$ (рис. 13.11), строят отрезок $BC \perp AB$ и соединяют точки $A$ и $C$. Затем измеряют угол $C$ и отрезок $AC$ (или $BC$). Чему равно расстояние между точками $A$ и $B$?

Рис. 13.11

Для определения расстояния $AB$ мы используем прямоугольный треугольник $ABC$, который образуется построением отрезка $BC$, перпендикулярного $AB$. В этом треугольнике угол $B$ прямой ($\angle B = 90^\circ$), $AB$ и $BC$ — катеты, а $AC$ — гипотенуза. Решение зависит от того, какие именно величины были измерены на местности.

Измерены угол $C$ и отрезок $AC$

В данном случае известна длина гипотенузы $AC$ и величина острого угла $C$. Искомое расстояние $AB$ является катетом, противолежащим этому углу. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла.

$\sin C = \frac{AB}{AC}$

Из этой формулы выражаем искомую длину $AB$:

$AB = AC \cdot \sin C$

Ответ: Расстояние между точками А и В равно произведению длины отрезка $AC$ на синус угла $C$.

Измерены угол $C$ и отрезок $BC$

В этом случае известна длина катета $BC$, прилежащего к углу $C$, и сам угол $C$. Искомое расстояние $AB$ — это катет, противолежащий углу $C$. По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, отношение противолежащего катета к прилежащему равно тангенсу угла.

$\tan C = \frac{AB}{BC}$

Из этой формулы выражаем искомую длину $AB$:

$AB = BC \cdot \tan C$

Ответ: Расстояние между точками А и В равно произведению длины отрезка $BC$ на тангенс угла $C$.