Номер 22, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Постройте угол, косинус которого равен:

а) $0,2$;

б) $0,8$.

а)

Для построения угла, косинус которого равен 0,2, мы воспользуемся определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Косинус угла — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

1. Сначала представим значение косинуса в виде обыкновенной дроби: $cos(\alpha) = 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

2. Это означает, что мы должны построить прямоугольный треугольник, у которого прилежащий катет и гипотенуза соотносятся как 1 к 5. Мы можем выбрать для них любые удобные длины, сохраняя это отношение, например, прилежащий катет будет равен 1 см, а гипотенуза — 5 см.

3. Выполним построение:

- Проведём прямую и выберем на ней точку С.

- Отложим от точки C отрезок CA длиной 1 единицу (например, 1 клетка или 1 см). Этот отрезок будет служить прилежащим катетом.

- В точке C восстановим перпендикуляр к прямой AC.

- С помощью циркуля возьмём раствор, равный 5 единицам. Установим ножку циркуля в точку A и проведём дугу так, чтобы она пересекла перпендикуляр. Назовём точку пересечения B.

- Соединим точки A и B отрезком. Этот отрезок AB — гипотенуза нашего треугольника, и её длина равна 5 единицам.

- Мы получили прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Угол $\angle CAB$ — это искомый угол, так как по построению его косинус равен $cos(\angle CAB) = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{5} = 0,2$.

Ответ: Искомый угол — это острый угол прямоугольного треугольника с прилежащим катетом равным 1 единице и гипотенузой равной 5 единицам.

б)

Построение угла с косинусом 0,8 выполняется аналогично.

1. Представим значение косинуса в виде дроби: $cos(\beta) = 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

2. Нам необходимо построить прямоугольный треугольник, в котором отношение прилежащего катета к гипотенузе составляет 4 к 5. Возьмём прилежащий катет равным 4 единицам, а гипотенузу — 5 единицам.

3. Выполним построение:

- Проведём прямую и отметим на ней точку E.

- От точки E отложим отрезок ED длиной 4 единицы (прилежащий катет).

- В точке E построим перпендикуляр к прямой ED.

- Установим раствор циркуля равным 5 единицам. Поставив ножку циркуля в точку D, проведём дугу, пересекающую перпендикуляр в точке F.

- Соединим точки D и F. Отрезок DF — это гипотенуза длиной 5 единиц.

- В получившемся прямоугольном треугольнике DEF с прямым углом E, угол $\angle EDF$ будет искомым. Его косинус равен $cos(\angle EDF) = \frac{DE}{DF} = \frac{4}{5} = 0,8$.

Ответ: Искомый угол — это острый угол прямоугольного треугольника с прилежащим катетом равным 4 единицам и гипотенузой равной 5 единицам (такой треугольник также известен как "египетский" с катетами 3, 4 и гипотенузой 5).