Номер 19, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Для каких углов:

а) тангенс меньше котангенса;

б) тангенс больше котангенса?

Для решения этой задачи мы будем решать тригонометрические неравенства. Обозначим искомый угол через $x$.

а) тангенс меньше котангенса

Нам необходимо найти все углы $x$, для которых выполняется неравенство:

$\tan(x) < \cot(x)$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс не определен, когда $\cos(x) = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Котангенс не определен, когда $\sin(x) = 0$, то есть при $x = \pi k$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi m}{2}$, где $n, k, m$ — любые целые числа.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\tan(x) - \cot(x) < 0$

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус и приведем к общему знаменателю:

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)} < 0$

$\frac{\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} < 0$

Воспользуемся формулами двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$ и $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.

Числитель: $\sin^2(x) - \cos^2(x) = -(\cos^2(x) - \sin^2(x)) = -\cos(2x)$.

Знаменатель: $\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Подставим эти выражения в неравенство:

$\frac{-\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} < 0$

$-2\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} < 0$

$-2\cot(2x) < 0$

Разделим обе части на -2, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\cot(2x) > 0$

Функция котангенс положительна в I и III координатных четвертях. Это означает, что ее аргумент, $2x$, должен удовлетворять условию:

$\pi k < 2x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим все части этого двойного неравенства на 2:

$\frac{\pi k}{2} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi k}{2} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) тангенс больше котангенса

Теперь нам необходимо найти все углы $x$, для которых выполняется неравенство:

$\tan(x) > \cot(x)$

Решение этого неравенства аналогично предыдущему пункту. Преобразования приводят к следующему неравенству:

$\tan(x) - \cot(x) > 0$

$\frac{-\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} > 0$

$-2\cot(2x) > 0$

Разделим обе части на -2, снова изменив знак неравенства:

$\cot(2x) < 0$

Функция котангенс отрицательна во II и IV координатных четвертях. Это означает, что ее аргумент, $2x$, должен удовлетворять условию:

$\frac{\pi}{2} + \pi k < 2x < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим все части этого двойного неравенства на 2:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.