Номер 20, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Докажите, что для любого острого угла A выполняются неравенства:

а) $ \sin A < \operatorname{tg} A; $

б) $ \cos A < \operatorname{ctg} A. $

а)

Требуется доказать, что для любого острого угла $A$ (то есть $0^\circ < A < 90^\circ$) выполняется неравенство $ \sin A < \operatorname{tg} A $.

По определению тангенса, $ \operatorname{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A} $. Подставим это выражение в наше неравенство:

$ \sin A < \frac{\sin A}{\cos A} $

Поскольку угол $A$ острый, $ \sin A > 0 $. Мы можем разделить обе части неравенства на $ \sin A $ без изменения знака неравенства:

$ 1 < \frac{1}{\cos A} $

Так как для острого угла $A$ косинус также положителен ($ \cos A > 0 $), мы можем умножить обе части неравенства на $ \cos A $, опять же без изменения знака неравенства:

$ \cos A < 1 $

Это неравенство верно для любого острого угла $A$, поскольку косинус равен 1 только при $A=0^\circ$ (и кратных $360^\circ$), а для всех углов в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$ значение косинуса строго меньше 1. Так как мы пришли к верному неравенству с помощью эквивалентных преобразований, исходное неравенство также верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Требуется доказать, что для любого острого угла $A$ (то есть $0^\circ < A < 90^\circ$) выполняется неравенство $ \cos A < \operatorname{ctg} A $.

По определению котангенса, $ \operatorname{ctg} A = \frac{\cos A}{\sin A} $. Подставим это выражение в наше неравенство:

$ \cos A < \frac{\cos A}{\sin A} $

Поскольку угол $A$ острый, $ \cos A > 0 $. Мы можем разделить обе части неравенства на $ \cos A $ без изменения знака неравенства:

$ 1 < \frac{1}{\sin A} $

Так как для острого угла $A$ синус также положителен ($ \sin A > 0 $), мы можем умножить обе части неравенства на $ \sin A $, не меняя знак неравенства:

$ \sin A < 1 $

Это неравенство верно для любого острого угла $A$, поскольку синус равен 1 только при $A=90^\circ$, а для всех углов в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$ значение синуса строго меньше 1. Так как мы пришли к верному неравенству с помощью эквивалентных преобразований, исходное неравенство также верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.