Номер 18, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Найдите тангенс и котангенс угла: а) A; б) B, изображенного на рисунке 13.8.

а) A

б) B

Рис. 13.8

а) Для нахождения тангенса и котангенса угла A, построим прямоугольный треугольник, используя узлы сетки. Вершина A является вершиной этого треугольника. Одна сторона угла A лежит на вертикальной линии сетки. Из вершины A отложим по этой вертикальной линии вверх 3 клетки и поставим точку D. Из точки D проведем горизонтальный отрезок вправо до пересечения с другой стороной угла A. Обозначим эту точку пересечения как C. Длина этого отрезка DC составляет 5 клеток. Мы получили прямоугольный треугольник ADC с прямым углом в точке D. Угол, который мы ищем, — это $ \angle CAD $, или угол A. В этом треугольнике катет DC, противолежащий углу A, равен 5, а катет AD, прилежащий к углу A, равен 3.
По определению, тангенс угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:$ \tan(A) = \frac{DC}{AD} = \frac{5}{3} $.
Котангенс — это отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего, или величина, обратная тангенсу:$ \cot(A) = \frac{AD}{DC} = \frac{1}{\tan(A)} = \frac{3}{5} $.
Ответ: $ \tan(A) = \frac{5}{3}, \cot(A) = \frac{3}{5} $.

б) Угол, тангенс и котангенс которого нужно найти, обозначен на рисунке как $ \alpha $, а в условии как B. Будем решать для угла B. Для этого введем систему координат с началом в точке B. Ось Ox направим горизонтально вправо, а ось Oy — вертикально вверх. Стороны угла B — это два луча, выходящие из точки B.
Верхний луч проходит через точку P, координаты которой можно определить по сетке: 4 клетки вправо и 1 клетка вниз от B. Таким образом, координаты точки P: $(4, -1)$.
Нижний луч проходит через точку Q с координатами: 2 клетки вправо и 3 клетки вниз от B. Координаты точки Q: $(2, -3)$.
Угловой коэффициент (тангенс угла наклона к оси Ox) для верхнего луча равен $ m_1 = \frac{-1}{4} $.
Угловой коэффициент для нижнего луча равен $ m_2 = \frac{-3}{2} $.
Тангенс угла $ \alpha $ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $ m_1 $ и $ m_2 $ вычисляется по формуле:$ \tan(B) = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| $.
Подставим наши значения:$ \tan(B) = \left| \frac{-\frac{3}{2} - (-\frac{1}{4})}{1 + (-\frac{3}{2}) \cdot (-\frac{1}{4})} \right| = \left| \frac{-\frac{6}{4} + \frac{1}{4}}{1 + \frac{3}{8}} \right| = \left| \frac{-\frac{5}{4}}{\frac{11}{8}} \right| = \left| -\frac{5}{4} \cdot \frac{8}{11} \right| = \left| -\frac{40}{44} \right| = \frac{10}{11} $.
Котангенс — это величина, обратная тангенсу:$ \cot(B) = \frac{1}{\tan(B)} = \frac{1}{10/11} = \frac{11}{10} $.
Ответ: $ \tan(B) = \frac{10}{11}, \cot(B) = \frac{11}{10} $.