Номер 11, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Для каких острых углов:

а) $\sin(\alpha) < \cos(\alpha)$;

б) $\sin(\alpha) > \cos(\alpha)$?

Для решения этой задачи рассмотрим поведение тригонометрических функций синуса и косинуса для острых углов. Острый угол $\alpha$ находится в диапазоне $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. В этом интервале и синус, и косинус принимают положительные значения.

Ключевой точкой для сравнения является угол, при котором значения синуса и косинуса равны. Найдем этот угол, решив уравнение:

$\sin(\alpha) = \cos(\alpha)$

Поскольку для острых углов $\cos(\alpha) \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos(\alpha)$:

$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 1$

Используя определение тангенса $\text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, получаем:

$\text{tg}(\alpha) = 1$

Единственным острым углом, для которого это верно, является $\alpha = 45^\circ$.

Теперь мы можем проанализировать поведение функций на двух подинтервалах: $(0^\circ, 45^\circ)$ и $(45^\circ, 90^\circ)$. На всем интервале $(0^\circ, 90^\circ)$ функция $\sin(\alpha)$ монотонно возрастает (от 0 до 1), а функция $\cos(\alpha)$ монотонно убывает (от 1 до 0).

а) синус меньше косинуса

Мы ищем острые углы $\alpha$, для которых выполняется неравенство $\sin(\alpha) < \cos(\alpha)$.

Рассмотрим интервал $0^\circ < \alpha < 45^\circ$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $\alpha = 30^\circ$. Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, а $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$, следовательно, $\cos(30^\circ) > \sin(30^\circ)$.

Поскольку на интервале $(0^\circ, 45^\circ)$ функция $\sin(\alpha)$ возрастает, а $\cos(\alpha)$ убывает, и в конечной точке интервала ($\alpha = 45^\circ$) их значения становятся равными, то на всем этом интервале синус будет меньше косинуса.

Ответ: синус меньше косинуса для острых углов $\alpha$, удовлетворяющих неравенству $0^\circ < \alpha < 45^\circ$.

б) синус больше косинуса

Мы ищем острые углы $\alpha$, для которых выполняется неравенство $\sin(\alpha) > \cos(\alpha)$.

Рассмотрим интервал $45^\circ < \alpha < 90^\circ$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $\alpha = 60^\circ$. Мы знаем, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Очевидно, что $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$, следовательно, $\sin(60^\circ) > \cos(60^\circ)$.

После точки равенства $\alpha = 45^\circ$ функция $\sin(\alpha)$ продолжает возрастать, а $\cos(\alpha)$ продолжает убывать. Это означает, что для любого угла в интервале $(45^\circ, 90^\circ)$ значение синуса будет больше значения косинуса.

Ответ: синус больше косинуса для острых углов $\alpha$, удовлетворяющих неравенству $45^\circ < \alpha < 90^\circ$.