Номер 6, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Может ли:

а) тангенс;

б) котангенс угла равняться 10?

а) тангенс;
Да, тангенс угла может равняться 10. Чтобы это показать, можно использовать два подхода.

1. Геометрический подход. Тангенс острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета. Это отношение может быть любым положительным числом. Мы можем легко представить прямоугольный треугольник, у которого катеты равны, например, 10 см и 1 см. Для угла $\alpha$, противолежащего катету длиной 10 см, тангенс будет равен: $tg(\alpha) = \frac{10}{1} = 10$.

2. Функциональный подход. Областью значений тригонометрической функции $y = tg(x)$ является множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Поскольку 10 — это действительное число, оно входит в область значений тангенса. Это означает, что обязательно существует такой угол $x$, для которого $tg(x) = 10$. Этот угол можно найти с помощью арктангенса: $x = arctg(10)$.

Ответ: да, может.

б) котангенс;
Да, котангенс угла также может равняться 10. Объяснение аналогично предыдущему пункту.

1. Геометрический подход. Котангенс острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике — это отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего катета. Для прямоугольного треугольника с катетами 10 см и 1 см котангенс угла $\alpha$, прилежащего к катету длиной 10 см, будет равен: $ctg(\alpha) = \frac{10}{1} = 10$.

2. Функциональный подход. Область значений функции $y = ctg(x)$ также является множеством всех действительных чисел: $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Число 10 принадлежит этой области, следовательно, существует такой угол $x$, для которого $ctg(x) = 10$. Данный угол равен $x = arcctg(10)$.

Ответ: да, может.