Номер 10, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Для каких углов синус равен косинусу?

Чтобы найти углы, для которых синус равен косинусу, нам необходимо решить тригонометрическое уравнение:

$\sin(x) = \cos(x)$

Для решения этого уравнения мы можем преобразовать его, разделив обе части на $\cos(x)$. Прежде чем это сделать, нужно убедиться, что $\cos(x) \neq 0$.

Предположим, что $\cos(x) = 0$. Это возможно для углов $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число. Для этих же углов значение $\sin(x)$ равно либо 1 (если $n$ четное), либо -1 (если $n$ нечетное). В любом случае, $\sin(x) \neq 0$. Таким образом, равенство $\sin(x) = \cos(x)$ не может выполняться, когда $\cos(x) = 0$, так как это привело бы к неверному утверждению $1 = 0$ или $-1 = 0$. Следовательно, мы можем безопасно разделить обе части уравнения на $\cos(x)$:

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 1$

Используя определение тангенса $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, получаем более простое уравнение:

$\tan(x) = 1$

Теперь найдем все углы $x$, для которых тангенс равен 1. Известно, что в первой четверти тангенс равен 1 для угла $\frac{\pi}{4}$ радиан (или 45°).

Функция тангенса является периодической с периодом $\pi$ (или 180°). Это означает, что значения тангенса повторяются через каждый интервал в $\pi$ радиан. Поэтому, чтобы найти все решения, мы должны добавить к частному решению $\frac{\pi}{4}$ все целые кратные периода $\pi$.

Общее решение уравнения $\tan(x) = 1$ имеет вид:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Эти углы соответствуют точкам на единичной окружности, лежащим на биссектрисе первого и третьего координатных углов (прямая $y=x$). В градусах это решение можно записать как $x = 45^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: Синус равен косинусу для углов $x$, которые можно выразить общей формулой $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ (в радианах) или $x = 45^\circ + 180^\circ \cdot k$ (в градусах), где $k$ — любое целое число.