Номер 20, страница 55 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

20. У прямоугольника срезаны углы таким образом, что образовался правильный шестиугольник. Найдите отношение сторон данного прямоугольника:

A. 1 : 2.

B. 2 : $\sqrt{3}$.

C. 1 : $\sqrt{2}$.

D. 2 : 3.

Пусть стороны исходного прямоугольника равны 𝐿 и 𝑊, а сторона образовавшегося правильного шестиугольника равна 𝑎.

Чтобы из прямоугольника путем срезания углов получился правильный шестиугольник, срезы должны быть выполнены симметрично. В результате у шестиугольника две стороны будут параллельны одной паре сторон прямоугольника, а четыре другие стороны будут образованы срезами. Части, срезанные по углам, представляют собой четыре одинаковых прямоугольных треугольника.

Рассмотрим ориентацию, когда две стороны шестиугольника параллельны стороне прямоугольника 𝐿. Длина этих сторон шестиугольника равна 𝑎. Четыре другие стороны, являющиеся гипотенузами срезанных треугольников, также имеют длину 𝑎. Пусть катеты этих треугольников равны 𝑥 и 𝑦. Тогда по теореме Пифагора: $x^2 + y^2 = a^2$.

Стороны прямоугольника можно выразить через 𝑎, 𝑥 и 𝑦. Длина 𝐿 будет равна сумме центральной стороны шестиугольника и двух катетов 𝑥: $L = x + a + x = 2x + a$. Ширина 𝑊 будет равна сумме двух катетов 𝑦: $W = y + y = 2y$.

Все внутренние углы правильного шестиугольника равны $120^\circ$. Угол шестиугольника в вершине, где его сторона, лежащая на стороне прямоугольника, соединяется со стороной-срезом, равен $120^\circ$. Так как сторона прямоугольника — это прямая, то угол между срезом и стороной прямоугольника составляет $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Следовательно, срезанные прямоугольные треугольники имеют острые углы $60^\circ$ и $30^\circ$. В нашем случае катет 𝑥 прилежит к углу $60^\circ$, а катет 𝑦 противолежит ему. Найдем длины катетов через 𝑎, используя тригонометрические соотношения:

$x = a \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$

$y = a \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим найденные значения 𝑥 и 𝑦 в выражения для 𝐿 и 𝑊:

$L = 2x + a = 2 \cdot (\frac{a}{2}) + a = a + a = 2a$

$W = 2y = 2 \cdot (a \frac{\sqrt{3}}{2}) = a\sqrt{3}$

Таким образом, стороны прямоугольника равны $2a$ и $a\sqrt{3}$. Их отношение составляет $L:W = 2a : a\sqrt{3} = 2 : \sqrt{3}$.

Ответ: B. $2:\sqrt{3}$.