Номер 16, страница 55 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В равнобедренной трапеции диагональ делит острый угол пополам. Периметр трапеции равен 132 см. Основания относятся как 2 : 5. Найдите среднюю линию трапеции:

А. 66 см.

В. 41 см.

С. 42 см.

D. 43 см.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По свойству равнобедренной трапеции, $AB = CD$.

По условию, диагональ (например, $AC$) делит острый угол ($\angle DAB$) пополам. Это значит, что $\angle DAC = \angle CAB$.

Углы $\angle DAC$ и $\angle BCA$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. Следовательно, они равны: $\angle DAC = \angle BCA$.

Из двух предыдущих равенств следует, что $\angle CAB = \angle BCA$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, и его боковые стороны $AB$ и $BC$ равны: $AB = BC$.

Так как трапеция равнобедренная ($AB = CD$), то мы получаем, что боковые стороны равны меньшему основанию: $AB = CD = BC$.

Основания трапеции относятся как $2:5$. Обозначим коэффициент пропорциональности через $x$. Тогда длина меньшего основания $BC$ равна $2x$, а большего основания $AD$ — $5x$.

Таким образом, длины сторон трапеции равны: $BC = 2x$, $AD = 5x$, $AB = 2x$, $CD = 2x$.

Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех её сторон:$P = AD + BC + AB + CD = 5x + 2x + 2x + 2x = 11x$.

По условию, периметр равен 132 см. Составим уравнение:$11x = 132$$x = \frac{132}{11}$$x = 12$ см.

Теперь найдем длины оснований:
Меньшее основание $BC = 2x = 2 \cdot 12 = 24$ см.
Большее основание $AD = 5x = 5 \cdot 12 = 60$ см.

Средняя линия трапеции ($m$) находится по формуле как полусумма оснований:$m = \frac{AD + BC}{2}$.

Подставим найденные значения:$m = \frac{60 + 24}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

Ответ: C. 42 см.