Номер 10, страница 54 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В ромбе последовательно соединены середины сторон. Определите вид получившегося четырехугольника:

A. Параллелограмм.

B. Прямоугольник.

C. Ромб.

D. Квадрат.

Пусть дан ромб $ABCD$ со стороной $a$. Пусть $M, N, P, Q$ — середины сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Необходимо определить вид получившегося четырехугольника $MNPQ$.

1. Рассмотрим стороны нового четырехугольника.

В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ является средней линией, так как он соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По свойству средней линии, $MN$ параллелен диагонали $AC$ и равен ее половине: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $QP$ является средней линией. Следовательно, $QP \parallel AC$ и $QP = \frac{1}{2}AC$.

Из этого следует, что $MN \parallel QP$ и $MN = QP$. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким образом, $MNPQ$ — параллелограмм.

Теперь рассмотрим другую пару сторон. В треугольнике $ABD$ отрезок $MQ$ является средней линией. Следовательно, $MQ \parallel BD$ и $MQ = \frac{1}{2}BD$.

2. Рассмотрим углы нового четырехугольника.

Важным свойством ромба является то, что его диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Мы выяснили, что стороны получившегося параллелограмма $MNPQ$ параллельны диагоналям исходного ромба $ABCD$: $MN \parallel AC$ и $MQ \parallel BD$.

Поскольку $AC \perp BD$, то и параллельные им прямые $MN$ и $MQ$ также будут перпендикулярны. Это означает, что угол между смежными сторонами параллелограмма $MNPQ$ прямой: $\angle QMN = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

3. Проверим, является ли он квадратом.

Для того чтобы прямоугольник $MNPQ$ был квадратом, его смежные стороны должны быть равны: $MN = MQ$. Так как $MN = \frac{1}{2}AC$ и $MQ = \frac{1}{2}BD$, условие равенства сторон сводится к равенству диагоналей ромба: $AC = BD$. Диагонали ромба равны только в частном случае, когда ромб является квадратом. В общем случае диагонали ромба не равны. Следовательно, в общем случае $MN \neq MQ$, и четырехугольник $MNPQ$ не является квадратом.

Таким образом, фигура, полученная соединением середин сторон ромба, является прямоугольником.

Ответ: В. Прямоугольник.